题目

题型：不详难度：来源：

（本题满分14分 ）如图，在三棱柱中，所有的棱长都为2，.
  
（1）求证：；
（2）当三棱柱的体积最大时，
求平面与平面所成的锐角的余弦值.

答案

（1）见解析；（2）.

解析

(1)因为,取AC的中点M，连接BM，A₁M，可知三角形A₁AC和三角形ABC都为正三角形，所以易证AC垂直平面A₁MB，从而证得.
(2) 当三棱柱的体积最大时，点到平面的距离最大，此时平面.由（1）知A₁在底面的射影一定在直线BM上，并且三角形A₁MB是等腰三角形，
所以当O与M重合时，点到平面的距离最大.然后在此基础上再求二面角的大小即可.

另解：当三棱柱的体积最大时，点到平面的距离最大，此时平面.以所在的直线分别为轴，建立直角坐标系，依题意得.
由得，设平面的一个法向量为
而，则，取
而平面，则平面的一个法向量为
于是，
故平面与平面所成锐角的余弦值为.