题目
题型:不详难度:来源:
(1)求证:⊥平面;
(2)求二面角余弦值.
答案
解析
试题分析:(1)先根据题意找到BC中点O,证明,平面,从而以O为原点构造出空间直角坐标系.在写出平面中相关向量坐标以及的坐标,由向量的数量积为0证明线线垂直,从而得到⊥平面;(2)先求出平面的法向量,又由上问可知平面的法向量即,再通过向量的夹角公式得到这两个法向量的夹角余弦值,经观察可知即为二面角余弦值.从而得到本题的解.
试题解析:(1)取BC中点O,连AO,
∵为正三角形, ∴,
∵在正三棱柱中,平面ABC平面,∴平面,
取中点为,以O为原点,,,的方向为,轴的正方向,建立空间直角坐标系,
则.
∴,
∵,.
∴,,∴面
(2)设平面的法向量为,.
,∴,∴,,令,得为平面的一个法向量,由(1)知面,
∴为平面的法向量,,
经检验易知二面角的余弦值为.
核心考点
举一反三
(Ⅰ)把向量用向量表示出来,并求;
(Ⅱ)把向量用表示;
(Ⅲ)求与所成角的余弦值.
(1)求证:面平面;
(2)求二面角的余弦值.
(Ⅰ)若点是的中点,求证:平面;
(II)试问点在线段上什么位置时,二面角的余弦值为.
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