题目
题型:不详难度:来源:
(1)求证:面平面;
(2)求二面角的余弦值.
答案
解析
试题分析:本题主要以四棱锥为几何背景考查线面垂直、面面垂直的判定以及二面角的求法,可以运用传统几何法,也可以用空间向量法求解,突出考查空间想象能力和计算能力.第一问,法一,先利用面面垂直的性质判断出,从而平面,所以垂直于面内的任意的线,由,判断是等腰直角三角形,所以且,所以面,利用面面垂直的判定定理得面面垂直,法二,利用空间向量法,通过证明,其它过程与法一相同;第二问,由第一问得到平面的法向量为,而平面的法向量需要计算求出,
,所以,最后用夹角公式求夹角余弦值.
试题解析:(1)解法一:因为面面平面面
为正方形,,平面
所以平面∴ 2分
又,所以是等腰直角三角形,
且,即 ,
,且、面,
面
又面,∴面面. 6分
解法二:
如图,
取的中点, 连结,.
∵, ∴.
∵侧面底面,
平面平面,
∴平面,
而分别为的中点,∴,
又是正方形,故.
∵,∴,.
以为原点,向量为轴建立空间直线坐标系,
则有,,,,,.
∵为的中点, ∴ 2分
(1)∵,, ∴,
∴,从而,又,,
∴平面,而平面,
∴平面平面. 6分
(2)由(1)知平面的法向量为,
设平面的法向量为,∵,
∴由,,可得
取,则故.
∴,
即二面角的余弦值为, 12分
核心考点
举一反三
(Ⅰ)若点是的中点,求证:平面;
(II)试问点在线段上什么位置时,二面角的余弦值为.
(1)求||的最小值;
(2)当||达到最小值时,与,是否都垂直,如果都垂直给出证明;如果不是都垂直,说明理由.
(1)求二面角的的余弦值;
(2)设点是线段上一动点,试确定的位置,使得,并证明你的结论.
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