题目
题型:不详难度:来源:
(1)求四棱锥P—ABCD的体积;
(2)不论点E在何位置,是否都有BDAE?试证明你的结论;
(3)若点E为PC的中点,求二面角D—AE—B的大小。
答案
解析
解:(I)由三视图知PC⊥面ABCD,ABCD为正方形,且PC=2,AB=BC=1(2分)
∴VP-ABCD="1" /3 •SABCD×PC="1" /3 •12•2="2" /3 (1分)
(II)∵PC⊥面ABCD,BD⊂面ABCD∴PC⊥BD …(1分)而BD⊥AC,AC∩AE=A,
∴BD⊥面ACE,…(1分)而AE⊂面ACE∴BD⊥AE (1分)
(III)法一:连接AC,交BD于O.由对称性,二面角D-AE-B是二面角O-AE-B的2倍,设θ为二面角O-AE-B的平面角.注意到B在面ACE上的射影为O
S△AOE="1/" 2 S△ACE="1" /2 ×1/ 2 × = / 4 .
S△ABE="1" /2 AB•BE= = / 2 ,(2分)∴cosθ=S△AOE /S△ABE ="1" /2
∴θ=60°∴二面角D-AE-B是120°(2分)
法二:以C为坐标原点,CD所在直线为x轴建立空间直角坐标系
则D(1,0,0),A(1,1,0),B(0,1,0),E(0,0,1),
从而 DE =(-1,0,1), DA =(0,1,0),
BA =(1,0,0), BE =(0,-1,1)(2分)
设平面ADE和平面ABE的法向量分别为
n1 =(x1,y1,z1), n2 =(x2,y2,z2)则-x1+z1=0,y1=0
x2=0,-y2+z2=0令z1=1,z2=-1,则 n1 =( (1,0,1), n2 =(0,-1,-1)(2分)
设二面角D-AE-B的平面角为θ,则|cosθ|="|" n1 • n2 | /| n1 | ×| n2| = 1 /2 .
二面角D-AE-B为钝二面角.∴二面角D-AE-B的大小为2π/ 3 .
核心考点
试题【已知四棱锥P—ABCD及其三视图如下图所示,E是侧棱PC上的动点。(1)求四棱锥P—ABCD的体积;(2)不论点E在何位置,是否都有BDAE?试证明你的结论;(】;主要考察你对空间向量的直角坐标运算等知识点的理解。[详细]
举一反三
A. | B. | C. | D.2 |
A.-1 | B.0 | C.1 | D.-2 |
A.0 | B.1 | C.-1 | D.2 |
A.1 | B.2 | C.5 | D.4 |
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