题目
题型:不详难度:来源:
(1)求证:AA1⊥平面ABC;
(2)求二面角A1BC1B1的余弦值;
(3)证明:在线段BC1上存在点D,使得AD⊥A1B,并求的值.
答案
解析
因为平面ABC⊥平面AA1C1C,且AA1垂直于这两个平面的交线AC,所以AA1⊥平面ABC.
(2)由(1)知AA1⊥AC,AA1⊥AB.
由题知AB=3,BC=5,AC=4,
所以AB⊥AC.
如图,以A为原点建立空间直角坐标系Axyz,则B(0,3,0),A1(0,0,4),B1(0,3,4),C1(4,0,4),
=(0,3,-4),=(4,0,0).
设平面A1BC1的法向量为n=(x,y,z),
则即
令z=3,则x=0,y=4,所以n=(0,4,3).
同理可得,平面B1BC1的一个法向量为m=(3,4,0).
所以cos〈 n,m〉==.
由题知二面角A1BC1B1为锐角,
所以二面角A1BC1B1的余弦值为.
(3)证明:设D(x,y,z)是直线BC1上一点,且=λ.
所以(x,y-3,z)=λ(4,-3,4).
解得x=4λ,y=3-3λ,z=4λ.
所以=(4λ,3-3λ,4λ).
由·=0,即9-25λ=0,解得λ=.
因为∈[0,1],所以在线段BC1上存在点D,
使得AD⊥A1B.此时,=λ=.
核心考点
试题【如图,在三棱柱ABCA1B1C1中,AA1C1C是边长为4的正方形,平面ABC⊥平面AA1C1C,AB=3,BC=5.(1)求证:AA1⊥平面ABC;(2)求】;主要考察你对空间向量的基本概念等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)求证:AE⊥平面BDC;
(2)求直线AC与平面ABD所成角的余弦值.
(1)求证:PO⊥平面ABCE;
(2)求二面角EAPB的余弦值.
(1)求直线PB与平面POC所成角的余弦值;
(2)求B点到平面PCD的距离;
(3)线段PD上是否存在一点Q,使得二面角QACD的余弦值为?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
(1)证明:在平面BCE上,一定存在过点C的直线l与直线DF平行;
(2)求二面角FCDA的余弦值.
(1)当点E在棱AB上移动时,证明:D1E⊥A1D;
(2)在棱AB上是否存在点E,使二面角D1ECD的平面角为?若存在,求出AE的长;若不存在,请说明理由.
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