题目

题型：不详难度：来源：

如图，在底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱中，P是侧棱上的一点，.
（1）试确定m，使直线AP与平面BDD₁B₁所成角为60º；
（2）在线段上是否存在一个定点，使得对任意的m，
⊥AP，并证明你的结论.

答案

（１）60º. （２）Q为的中点

解析

试题分析：（１）利用空间向量研究线面角，关键在于正确表示各点坐标，正确求出平面一个法向量，正确理解线面角与向量夹角之间互余的关系. 建立空间直角坐标系，则A(1,0,0),  B(1,1,0),  P(0,1,m)，C(0,1,0),  D(0,0,0), B1(1,1,1),  D1(0,0,2). 所以又由知为平面的一个法向量. =，解得（２）同（1）若在上存在这样的点Q，设此点的横坐标为x，则.，即Q为的中点.
（１）建立空间直角坐标系，则
A(1,0,0),  B(1,1,0),  P(0,1,m)，C(0,1,0),  D(0,0,0),
B1(1,1,1),  D1(0,0,2).所以
又由的一个法向量.设与所成的角为，
则=，      5分
解得.故当时，直线AP与平面所成角为60º.    7分
（２）若在上存在这样的点Q，设此点的横坐标为x，
则.
依题意，对任意的m要使D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP. 等价于

即Q为的中点时，满足题设的要求.                 14分