题目

题型：不详难度：来源：

已知O为坐标原点，A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα）
（1）|

OA

+

OC

|=

13

，且α∈（0，π），求α．
（2）在（1）条件下，求

OB

与

OC

的夹角；
（3）若

AC

•

BC

=-1，求sin2α的值．

答案

（1））|

OA

+

OC

|=（3+cosα，sinα）
∴|

OA

+

OC

|2=9+6cosα+cos²α+sin²α=10+6cosα=13cosα=

1

2

∵α∈（0，π），∴α=

π

3

．（3分）
（2）∵cos＜

OB

，

OC

＞=

OB • OC

| OB |•|  OC |

=

3sinα

3

=sinα=

3

2

．（6分）
（3）∵

AC

=（cosα-3，sinα），

BC

=（cosα，sinα-3）．（8分）
∴

AC

•

BC

=cos²α-3cosα+sin²α-3sinα=1-3（sinα+cosα）=-1
∴sinα+cosα=

2

3

（10分）
∴1+2sinαcosα=

4

9

．
∴sin2α=-

5

9

…（12分）