题目

题型：不详难度：来源：

已知两不共线向量

a

=（cosα，sinα），

b

=（cosβ，sinβ），则下列说法不正确的是（　　）

A．| a |=| b |=1

B．（ a + b ）⊥（ a - b ）

C． a 与 b 的夹角等于α-β

D． a 与 b 在 a + b 方向上的投影相等

答案

由模长公式可得|

a

|=

cos2α+sin2α

=1，|

b

|=

cos2β+sin2β

=1，即|

a

|=|

b

|，故A正确；
∵（

a

+

b

）•（

a

-

b

）=|

a

|²-|

b

|²=0，∴（

a

+

b

）⊥（

a

-

b

），故B正确；
由夹角公式可得cos＜

a

，

b

＞=

a • b

| a |•| b |

=

a

•

b

=cosαcosβ+sinαsinβ=cos(α-β)．
当α-β∈[0，π]时，＜

a

，

b

＞=α-β；当α-β∉[0，π]时，＜

a

，

b

＞≠α-β，故C不正确；
由投影相等可得

a •( a + b )

| a + b |

=

b •( a + b )

| a + b |

⇔|

a

|2+

a

•

b

=

a

•

b

+|

b

|2⇔|

a

|=|

b

|，故D正确．
故选C