题目

题型：不详难度：来源：

已知向量

a

=(sin2

π

6

x，cos2

π

6

x)，向量

b

与向量

a

关于x轴对称．
（1）求函数g(x)=

a

.

b

的解析式，并求其单调增区间；
（2）若集合M={f（x）|f（x）+f（x+2）=f（x+1），x∈R}，试判断g（x）与集合M的关系．

答案

（1）∵向量

b

与向量

a

称，
∴

b

=(sin2

π

6

x，-cos2

π

6

x)，
∴g(x)=sin4

π

6

x-cos4

π

6

x
=(sin2

π

6

x-cos2

π

6

x)(sin2

π

6

x+cos2

π

6

x)=-cos

π

3

x
由2kπ≤

π

3

x≤2kπ+π，k∈Z，得6k≤x≤6k+3，k∈Z，
∴g（x）区间为[6k，6k+3]（k∈Z）
（2）∵g(x)+g(x+2)=-[cos

πx

3

+cos(

πx

3

+

2π

3

)]
=-(cos

πx

3

+cos

πx

3

cos

2π

3

-sin

πx

3

sin

2π

3

)
=-(

1

2

cos

π

3

-

3

2

sin

πx

3

)
=-cos

π

3

(x+1)=g(x+1)
∴g（x）∈M