题目

题型：不详难度：来源：

已知圆C：（x-1）²+（y-3）²=4，过原点O的直线l与圆C相交于A、B两点
（1）若弦AB的长为2

2

，求直线l的方程；
（2）求证：

OA

•

OB

为定值．

答案

（1）设直线方程y=kx，所以(

|k-3|

1+k2

)2+(

2

)2=4，…（3分）
解得k=1或k=-7
所以直线方程为y=x或y=-7x…（5分）
（2）当k不存在时，直线为x=0，此时

OA

•

OB

=6…（6分）
当k存在时，设直线y=kx，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），

y=kx (x-1)2+(y-3)2=4

消y得（1+k²）x²-（6k+2）x+6=0，…（7分）

OA

•

OB

=x1x2+y1y2=x1x2+k2x1x2=(1+k2)x1x2，
由x1x2=

6

1+k2

所以

OA

•

OB

=6
综上：

OA

•

OB

=6…（11分）