题目

题型：0103 期末题难度：来源：

设F₁、F₂分别是椭圆的左、右焦点。
（1）若P是该椭圆上的一个动点，求的取值范围；
（2）设过定点Q（0，2）的直线l与椭圆交于不同的两点M、N，且∠MON为锐角（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围；
（3）设A（2，0），B（0，1）是它的两个顶点，直线y=kx（k＞0）与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点，求四边形AEBF面积的最大值。

答案

解：（1）易知，
所以，
设，则
，
故。
（2）显然直线x=0不满足题设条件，
可设直线：，
联立，
消去y，整理得，
∴，
由，解得：或，     ①
又0°<∠MON<90°cos∠MON>0，
∴，
又，
∵，即，
∴，                       ②
故由①、②得或。
（3）根据点到直线的距离公式和①式知，点E，F到AB的距离分别为
，
，
又，
所以，四边形AEBF的面积为
，
当即时，等号成立，所以S的最大值为。