题目
题型:不详难度:来源:
(1)求椭圆的方程;
(2)若AB上的一点F满足求证:CF平分∠BCA;
(3)对于椭圆上的两点P、Q,∠PCQ的平分线总是垂直于x轴时,是否存在实数λ,使得
答案
解析
又,∴△AOC是等腰直角三角形.
这样可由A(2,0),得到C(1,1),根据点C在椭圆上,a=2,可求出椭圆方程.
(II)因为,
从而可知F为有向线段BA的内分点,再借助分点坐标公式求出F的坐标.再证明即可.
(III)对于椭圆上两点P、Q,∵∠PCQ的平分线总是垂直于x轴
∴PC与CQ所在直线关于x=1对称,kpC=k,则kcQ=-k,设C(1,1),则PC的直线方程y-1=k(x-1)y=k(x-1)+1 ,QC的直线方y-1=-k(x-1) y=-k(x-1)+1,将直线PC的方程与椭圆方程联立消y得关于x的一元二次方程,可知x=1是其方程的一个根,这样可根据韦达定理可求出另一个根xp;同样的方法可求出xQ,从而可利用求出PQ斜率,如果与AB的斜率相等,就说明这两个向量共线,从而说明存在实数λ,使得.
解:
又
∴△AOC是等腰直角三角形. ∵A(2,0),∴C(1,1)而点C在椭圆上,
∴. ∴所求椭圆方程为
(Ⅱ)证明C(1,1),则B(-1,-1)
又
即点F分所成的定比为2. 设
CF⊥x轴, ∴∠ACF=∠FCB=45°,即CF平分∠BCA.
(Ⅲ)对于椭圆上两点P、Q,∵∠PCQ的平分线总是垂直于x轴
∴PC与CQ所在直线关于x=1对称,kpC=k,则kcQ=-k,
设C(1,1),则PC的直线方程y-1=k(x-1)y=k(x-1)+1 ①
QC的直线方y-1=-k(x-1) y=-k(x-1)+1 ②
将①代入得(1+3k2)x2-6k(k-1)x+3k2-6k-1=0 ③
∵C(1,1)在椭圆上,∴x=1是方程③的一个根,
∴xp·1==1同理将②代入x2+3y2=4得
(1+3k2)x2-6k(k+1)x+3k2+6k-1=0 ④
∵C(1,1)在椭圆上, ∴x=1是方程④的一个根,
∴xQ·1=
∴存在实数λ,使得.
核心考点
试题【、如图:已知椭圆是长轴的一个端点,弦BC过椭圆的中心O,且.(1)求椭圆的方程;(2)若AB上的一点F满足求证:CF平分∠BCA;(3)对于椭圆上的两点P、Q,】;主要考察你对平面向量的概念等知识点的理解。[详细]
举一反三
A.等边三角形 | B.锐角三角形 | C.钝角三角形 | D.直角三角形 |
A. | B. | C. -5 | D.5 |
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