题目

题型：不详难度：来源：

有四个关于三角函数的命题：
P₁：∃x∈R，sinx+cosx=2；                        P₂：∃x∈R，sin2x=sinx；
P3：∀x∈[-

π

2

，

π

2

]，

1+cos2x 2

=cosx；    P₄：∀x∈（0，π）sinx＞cosx．
其中真命题是（　　）

A．P1，P4

B．P2，P3

C．P3，P4

D．P2，P4

答案

因为sinx+cosx=

2

sin（x+

π

4

），所以sinx+cosx的最大值为

2

，
可得不存在x∈R，使sinx+cosx=2成立，得命题P₁是假命题；
因为存在x=kπ（k∈Z），使sin2x=sinx成立，故命题P₂是真命题；
因为

1+cos2x

2

=cos²x，所以

1+cos2x 2

=|cosx|，结合x∈[-

π

2

，

π

2

]得cosx≥0
由此可得

1+cos2x 2

=cosx，得命题P₃是真命题；
因为当x=

π

4

时，sinx=cosx=

2

2

，不满足sinx＞cosx，
所以存在x∈（0，π），使sinx＞cosx不成立，故命题P₄是假命题．
故选：B