题目

题型：四川省期末题难度：来源：

设函数f（x）=x|x﹣a|+b．
（1）求证：f（x）为奇函数的充要条件是a²+b²=0．
（2）设常数b＜﹣1，且对任意x∈[0，1]，f（x）＜0恒成立，求实数a的取值范围．

答案

（1）证明：充分性：若a²+b²=0，则a=b=0，
∴f（x）=x|x|对任意的x∈R都有f（﹣x）+f（x）=0
∴f（x）为奇函数，故充分性成立
必要性：若f（x）为奇函数，则对任意的x∈R都有f（﹣x）+f（x）=0恒成立，
∴f（0）=0，解得b=0，
∴f（x）=x|x﹣a|，
由f（1）+f（﹣1）=0，即|1﹣a|﹣|a+1|=0，|1﹣a|=|1+a|得：a=0．
∴a²+b²=0．
故f（x）为奇函数的充要条件是a²+b²=0
（2）解：由b＜﹣1＜0，
当x=0时a取任意实数不等式恒成立
当0＜x≤1时f（x）＜0恒成立，也即x+＜a＜x﹣恒成立
令g（x）=x+在0＜x≤1上单调递增，
∴a＞g（x）_max=g（1）=1+b
令h（x）=x﹣，则h（x）在（0，]上单调递减，[，+∞）单调递增，
当b＜﹣1时h（x）=x﹣在0＜x≤1上单调递减，
∴a＜h（x）_min=h（1）=1﹣b．
∴1+b＜a＜1﹣b