题目

题型：汕头一模难度：来源：

有以下四个命题：
①△ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB”的充要条件；
②若命题p：∀x∈R，sinx≤1，则¬p：∀x∈R，sinx＞1；
③不等式10^x＞x²在（0，+∞）上恒成立；
④设有四个函数y=x^-1，y=x

1

2

，y=x

1

3

，y=x³，其中在（0，+∞）上是增函数的函数有3个．
其中真命题的序号是（　　）

A．③④

B．①④

C．①③④

D．②③

答案

对于①，△ABC中，因为“A＞B”⇔a＞b⇔2RsinA＞2RsinB⇔sinA＞sinB，
所以①△ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB”的充要条件，
所以①正确；
对于②，若命题p：∀x∈R，sinx≤1，则¬p：∃x∈R，sinx＞1；
所以②不正确；
对于③，令y=10^x-x²，y′=10^xln10-2x，y″=10^xln10ln10-2，
所以y″＞0，所以y′=10^xln10-2x在（0，+∞）上是增函数
所以y′＞0，所以y=10^x-x²在（0，+∞）上是增函数，所以y=10^x-x²＞1，所以10^x＞x²在（0，+∞）上恒成立
所以③正确
对于④，函数y=x^-1在（0，+∞）上是函减数；函数y=x

1

2

，y=x

1

3

，y=x³在（0，+∞）上是增函数
所以④正确．
函数y=x^-1在（0，+∞）上是函减数；函数y=x

1

2

，y=x

1

3

，y=x³在（0，+∞）上是增函数
故选C．