题目

题型：不详难度：来源：

（12分）根据如图所示的程序框图，将输出的x、y值依次分别记为；
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）写出y₁，y₂，y₃，y₄，由此猜想出数列{y_n}的一个通项公式y_n，并证明你的结论；
（Ⅲ）求

答案

（Ⅰ）  
（Ⅱ）=3ⁿ－1（） ，证明略
（Ⅲ）略

解析

解：（Ⅰ）由框图，知数列 ………2分
∴               ………4分
（Ⅱ）由框图，知数列{y_n}中，y_n+1=3y_n+2          ………5分
∴                                    ………6分
∴    ∴数列{y_n+1}是以3为首项，3为公比的等比数列。
∴+1=3·3^n－1=3ⁿ
∴=3ⁿ－1（）                            ………8分
（Ⅲ）z_n=
=1×（3－1）+3×（3²－1）+…+（2n－1）（3ⁿ－1）
=1×3+3×3²+…+（2n－1）·3ⁿ－[1+3+…+（2n－1）]           ………9分
记S_n=1×3+3×3²+…+（2n－1）·3ⁿ，①
则3S_n=1×3²+3×3³+…+（2n－1）×3ⁿ⁺¹ ②
①－②，得－2S_n=3+2·3²+2·3³+…+2·3ⁿ－（2n－1）·3ⁿ⁺¹
=2（3+3²+…+3ⁿ）－3－（2n－1）·3ⁿ⁺¹
=2×=