有A、B、C三个盒子，每个盒子中放有红、黄、蓝颜色的球各一个，所有的球仅有颜色上的区别．
（Ⅰ）从每个盒子中任意取出一个球，记事件S为“取得红色的三个球”，事件T为“取得颜色互不相同的三个球”，求P（S）和P（T）；
（Ⅱ）先从A盒中任取一球放入B盒，再从B盒中任取一球放入C盒，最后从C盒中任取一球放入A盒，设此时A盒中红球的个数为ξ，求ξ的分布列与数学期望Eξ． |
（Ⅰ）∵A、B、C三个盒子，
每个盒子中放有红、黄、蓝颜色的球各一个，
所有的球仅有颜色上的区别．
从每个盒子中任意取出一个球，记事件S为“取得红色的三个球”，
事件T为“取得颜色互不相同的三个球”，
∴P(S)=××=，
P(T)==．
（Ⅱ）ξ的可能值为0，1，2．
①考虑ξ=0的情形，首先A盒中必须取一个红球放入B盒，相应概率为，
此时B盒中有2红2非红；
若从B盒中取一红球放入C盒，相应概率为，则C盒中有2红2非红，
从C盒中只能取一个非红球放入A盒，相应概率为；
若从B盒中取一非红球放入C盒，相应概率为，
则C盒中有1红3非红，从C盒中只能取一个非红球放入A盒，相应概率为．
故P(ξ=0)=×[×+×]=．
②考虑ξ=2的情形，首先A盒中必须取一个非红球放入B盒，相应概率为，
此时B盒中有1红3非红；
若从B盒中取一红球放入C盒，相应概率为，
则C盒中有2红2非红，从C盒中只能取一个红球放入A盒，相应概率为；
若从B盒中取一非红球放入C盒，相应概率为，
则C盒中有1红3非红，从C盒中只能取一个红球放入A盒，相应概率为．
故P(ξ=2)=×[×+×]=．
③P(ξ=1)=1--=．
所以ξ的分布列为
| ξ | 0 | 1 | 2 | | P | | | |
核心考点
试题【有A、B、C三个盒子，每个盒子中放有红、黄、蓝颜色的球各一个，所有的球仅有颜色上的区别．（Ⅰ）从每个盒子中任意取出一个球，记事件S为“取得红色的三个球”，事件T】；主要考察你对 离散型随机变量均值与方差等知识点的理解。 [详细]举一反三
某学校为了选拔学生参加“XX市中学生知识竞赛”，先在本校进行选拔测试（满分150分），若该校有100名学生参加选拔测试，并根据选拔测试成绩作出如图所示的频率分布直方图．
（Ⅰ）根据频率分布直方图，估算这100名学生参加选拔测试的平均成绩；
（Ⅱ）若通过学校选拔测试的学生将代表学校参加市知识竞赛，知识竞赛分为初赛和复赛，初赛中每人最多有5次答题机会，累计答对3题或答错3题即终止，答对3题者方可参加复赛．假设参赛者甲答对每一个题的概率都是，求甲在初赛中答题个数的分布列和数学期望．
 | 交通指数是交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念，记交通指数为T．其范围为[0，10]，分别有五个级别：T∈[0，2）畅通；T∈[2，4）基本畅通；T∈[4，6）轻度拥堵；T∈[6，8）中度拥堵；T∈[8，10]严重拥堵，晚高峰时段，从某市交通指挥中心选取了市区20个交通路段，依据其交通指数数据绘制直方图如图所示．
（Ⅰ）这20个路段轻度拥堵、中度拥堵的路段各有多少个？
（Ⅱ）从这20个路段中随机抽出的3个路段，用X表示抽取的中度拥堵的路段的个数，求X的分布列及期望．
 | 新一届中央领导集体非常重视勤俭节约，从“光盘行动”到“节约办春晚”．到饭店吃饭是吃光盘子或时打包带走，称为“光盘族”，否则称为“非光盘族”．政治课上政治老师选派几位同学组成研究性小组，从某社区[25，55]岁的人群中随机抽取n人进行了一次调查，得到如下统计表：
| 组数 | 分组 | 频数 | 频率 | 光盘族占本组比例 | | 第1组 | [25，30） | 50 | 0.05 | 30% | | 第2组 | [30，35） | 100 | 0.10 | 30% | | 第3组 | [35，40） | 150 | 0.15 | 40% | | 第4组 | [40，45） | 200 | 0.20 | 50% | | 第5组 | [45，50） | a | b | 65% | | 第6组 | [50，55） | 200 | 0.20 | 60% | 莆田四中高二年级设计了一个实验学科的能力考查方案：考生从6道备选题中一次性随机抽取3道题，并独立完成所抽取的3道题．规定：至少正确完成其中2道题的便可通过该学科的能力考查．已知6道备选题中考生甲能正确完成其中4道题，另2道题不能完成；考生乙正确完成每道题的概率都为，且每道题正确完成与否互不影响．
（Ⅰ）求考生甲能通过该实验学科能力考查的概率；
（Ⅱ）记所抽取的3道题中，考生甲能正确完成的题数为ξ，写出ξ的概率分布，并求Eξ及Dξ；
（Ⅲ）试用统计知识分析比较甲、乙考生在该实验学科上的能力水平． | NBA总决赛采用7场4胜制，即若某队先取胜4场则比赛结束．由于NBA有特殊的政策和规则，能进入决赛的球队实力都较强，因此可以认为，两个队在每一场比赛中取胜的概率相等．根据不完全统计，主办一场决赛，组织者有望通过出售电视转播权、门票及零售商品、停车费、广告费等收入获取收益2000万美元（相当于篮球巨星科比的年薪）．
（1）求所需比赛场数X的概率分布；
（2）求组织者收益的数学期望． |
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