题目

题型：不详难度：来源：

投掷A，B，C三个纪念币，正面向上的概率如下表所示（0＜a＜1）．

将这三个纪念币同时投掷一次，设ξ表示出现正面向上的个数．
（1）求ξ的分布列及数学期望；
（2）在概率P（ξ=i）（i=0，1，2，3）中，若P（ξ=1）的值最大，求a的取值范围．

答案

（1）由题意知ξ个正面向上，3-ξ个背面向上．
ξ的可能取值为0，1，2，3．
根据独立重复试验的概率公式得到变量的分布列，
P(ξ=0)=

C

01

(1-

1

2

)

C

02

(1-a)2=

1

2

(1-a)2，
P(ξ=1)=

C

11

•

1

2

C

02

(1-a)2+

C

01

(1-

1

2

)

C

12

a(1-a)=

1

2

(1-a2)，P(ξ=2)=

C

11

•

1

2

C

12

a(1-a)+

C

01

(1-

1

2

)

C

22

a2=

1

2

(2a-a2)，
P(ξ=3)=

C

11

•

1

2

C

22

a2=

a2

2

．
∴ξ的分布列为

∴ξ的数学期望为Eξ=0×

1

2

(1-a)2+1×

1

2

(1-a2)+2×

1

2

(2a-a2)+3×

a2

2

=

4a+1

2

．
（2）P(ξ=1)-P(ξ=0)=

1

2

[(1-a2)-(1-a)2]=a(1-a)，
P(ξ=1)-P(ξ=2)=

1

2

[(1-a2)-(2a-a2)]=

1-2a

2

，
P(ξ=1)-P(ξ=3)=

1

2

[(1-a2)-a2]=

1-2a2

2

．
由

a(1-a)≥0 1-2a 2 ≥0 1-2a2 2 ≥0

和0＜a＜1，
得0＜a≤

1

2

，
即a的取值范围是(0，

1

2

]．