题目

题型：安徽省高考真题难度：来源：

工作人员需进入核电站完成某项具有高辐射危险的任务，每次只派一个人进去，且每个人只派一次，工作时间不超过10分钟，如果前一个人10分钟内不能完成任务则撤出，再派下一个人，现在一共只有甲、乙、丙三个人可派，他们各自能完成任务的概率分别p₁，p₂，p₃，假设p₁， p₂，p₃互不相等，且假定各人能否完成任务的事件相互独立。
（1）如果按甲最先、乙次之、丙最后的顺序派人，求任务能被完成的概率。若改变三个人被派出的先后顺序，任务能被完成的概率是否发生变化？
（2）若按某指定顺序派人，这三个人各自能完成任务的概率依次为q₁，q₂，q₃，其中q₁，q₂，q₃是p₁，p₂，p₃的一个排列，求所需派出人员数目X的分布列和均值（数学期望）EX；
（3）假定1>p₁>p₂>p₃，试分析以怎样的先后顺序派出人员，可使所需派出的人员数目的均值（数学期望）达到最小。

答案

解：（1）无论以怎样的顺序派出人员，任务不能被完成的概率都是（1-p₁）（1-p₂）（1-p₃），所以任务能被完成的概率与三个人被派出的先后顺序无关，并等于1-（1-p₁）（1-p₂）（1-p₃）=p₁+p₂+p₃-p₁p₂-p₂p₃-p₃p₁+p₁p₂p₃。
（2）当依次派出的三个人各自完成任务的概率分别为q₁，q₂，q₃时，随机变量X的分布列为

所需派出的人员数目的均值（数学期望）EX是
EX=q₁+2（1-q₁）q₂+3（1-q₁）（1-q₂） =3-2q₁-q₂+q₁q₂。
（3）由（2）的结论知，当以甲最先、乙次之、丙最后的顺序派人时，EX=3-2p₁-p₂+p₁p₂。根据常理，优先派出完成任务概率大的人，可减少所需派出的人员数目的均值，下面证明：对于p₁，p₁，p₃的任意排列q₁，q₂，q₃，都有3-2q₁-q₂+q₁q₂≥3-2p₁-p₂+p₁p₂. …… （*）
事实上，△=（3-2q₁-q₂+q₁q₂）-（3-2p₁-p₂+p₁p₂）
=2（p₁-q₁）+（p₂-q₂）-p₁p₂+q₁q₂
=2（p₁-q₁）+（p₂-q₂）-（p₁-q₁）p₂-q₁（p₂-q₂）
=（2-p₂）（p₁-q₁）+（1-q₁）（p₂-q₂）
≥（1-q₁）[（p₁+p₂）-（q₁+q₂）] ≥0
即（*）成立。