题目

题型：河南模拟难度：来源：

某班甲、乙、丙三名同学参加省数学竞赛选拔考试，成绩合格可获得参加竞赛的资格．其中甲同学表示成绩合格就去参加，但乙、丙同学约定：两人成绩都合格才一同参加，否则都不参加，设每人成绩合格的概率都是

2

3

，求：
（1）三人中至少有1人成绩合格的概率；
（2）去参加竞赛的人数ξ的分布列和数学期望．

答案

（1）用A，B，C分别表示甲乙丙三人参加省数学竞赛选拔考试成绩合格，由题意知A，B，C相互独立，且P（A）=

2

3

=P（B）=P（C），利用独立事件同时发生及对立事件的定义则：三人中至少有1人成绩合格的概率P=1-P(A)P(B)P(C)=1-(

1

3

)3=

26

27

，
   （2）由题意由于ξ表示去参加竞赛的人数，所以该随机变量可以取值0，1，2，3，
P（ξ=0）=P(

.

A

B

.

C

)+P(

.

A

.

B

C)+P(

.

A

.

B

.

C

)=(

1

3

)2•

2

3

+(

1

3

)2•

2

3

+ (

1

3

)3 =

5

27

，
P（ξ=1）=P(A

.

B

C)+P(AB

.

C

 )+P(A

.

B

.

C

)=(

2

3

)2•

1

3

+(

2

3

)2•

1

3

 +(

1

3

)2•

2

3

 =

10

27

，
P（ξ=2）=P(

.

A

BC)=P( 

.

A

 )P(B)P(C)=

4

27

，
P（ξ=3）=P(A)P(B)P(C)=P(A)P(B)P(C)=

8

27

，
所以ξ的分布列为：



所以随机变量ξ的期望Eξ=0×

5

27

+1×

10

27

+2×

4

27

+3×

8

27

=

42

27

．