题目

题型：不详难度：来源：

某高校组织自主招生考试，共有2 000名优秀同学参加笔试，成绩均介于195分到275分之间，从中随机抽取50名同学的成绩进行统计，将统计结果按如下方式分成8组：第1组[195,205)，第2组[205,215)，…，第8组[265,275]．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图，且笔试成绩在260分(含260分)以上的同学进入面试．

(1)估计所有参加笔试的2 000名同学中，参加面试的同学人数；
(2)面试时，每位同学抽取两个问题，若两个问题全答错，则不能取得该校的自主招生资格；若两个问题均回答正确且笔试成绩在270分以上，则获A类资格；其他情况下获B类资格．现已知某中学有两人获得面试资格，且仅有一人笔试成绩为270分以上，在回答两个面试问题时，两人对每一个问题正确回答的概率均为，求恰有一名同学获得该高校B类资格的概率．

答案

（1）280人（2）

解析

(1)设第i(i＝1,2，…，8)组的频率为f_i，则由频率分布直方图知f₇＝1－(0.004＋0.01＋0.01＋0.02＋0.02＋0.016＋0.008)×10＝0.12.
所以成绩在260分以上的同学的概率P≈＋f₈＝0.14，
∴2 000×0.14＝280，
故这2 000名同学中，取得面试资格的约为280人．
(2)不妨设两名同学分别为M，N，且M的笔试成绩在270分以上，则对于M，答题的可能有M₁₁，M₁₀，M₀₁，M₀₀，对于N，答题的可能有N₁₁，N₁₀，N₀₁，N₀₀，其中角标中的1表示正确，0表示错误，如N₁₀表示N同学第一题正确，第二题错误．
将两名同学的答题情况列表如下：

	M11	M10	M01	M00
N11	AB	BB	BB	CB
N10	AB	BB	BB	CB
N01	AB	BB	BB	CB
N00	AC	BC	BC	CC

表中AB表示M获A类资格，N获B类资格；BC表示M获B类资格，N没有获得资格．
所以恰有一名同学获得该高校B类资格的概率为＝.