题目

题型：山东难度：来源：

已知曲线C1：

|x|

a

+

|y|

b

=1(a＞b＞0)所围成的封闭图形的面积为4

5

，曲线C₁的内切圆半径为

2 5

3

．记C₂为以曲线C₁与坐标轴的交点为顶点的椭圆．
（Ⅰ）求椭圆C₂的标准方程；
（Ⅱ）设AB是过椭圆C₂中心的任意弦，l是线段AB的垂直平分线．M是l上异于椭圆中心的点．
（1）若|MO|=λ|OA|（O为坐标原点），当点A在椭圆C₂上运动时，求点M的轨迹方程；
（2）若M是l与椭圆C₂的交点，求△AMB的面积的最小值．

答案

（Ⅰ）由题意得

2ab=4 5 ab a2+b2 = 2 5 3

，又a＞b＞0，解得  a²=5，b²=4．
因此所求椭圆的标准方程为   

x2

5

+

y2

4

=1．
（Ⅱ）（1）假设AB所在的直线斜率存在且不为零，设AB所在直线方程为y=kx（k≠0），A（x_A，y_A）．
解方程组

x2 5 + y2 4 =1 y=kx

得

x

2A

=

20

4+5k2

，

y

2A

=

20k2

4+5k2

，
所以|OA|2=

x

2A

+

y

2A

=

20

4+5k2

+

20k2

4+5k2

=

20(1+k2)

4+5k2

．
设M（x，y），由题意知|MO|=λ|OA|（λ≠0），
所以|MO|²=λ²|OA|²，即x2+y2=λ2

20(1+k2)

4+5k2

，
因为l是AB的垂直平分线，所以直线l的方程为y=-

1

k

x，即k=-

x

y

，
因此x2+y2=λ2

20(1+ x2 y2 )

4+5• x2 y2

=λ2

20(x2+y2)

4y2+5x2

，
又x²+y²≠0，所以5x²+4y²=20λ²，故

x2

4

+

y2

5

=λ2．
又当k=0或不存在时，上式仍然成立．
综上所述，M的轨迹方程为

x2

4

+

y2

5

=λ2(λ≠0)．
（2）当k存在且k≠0时，由（1）得

x

2A

=

20

4+5k2

，

y

2A

=

20k2

4+5k2

，
由

x2 5 + y2 4 =1 y=- 1 k x

解得

x

2M

=

20k2

5+4k2

，

y

2M

=

20

5+4k2

，
所以|OA|2=

x

2A

+

y

2A

=

20(1+k2)

4+5k2

，|AB|2=4|OA|2=

80(1+k2)

4+5k2

，|OM|2=

20(1+k2)

5+4k2

．
由于

S

2△AMB

=

1

4

|AB|2•|OM|2=

1

4

×

80(1+k2)

4+5k2

×

20(1+k2)

5+4k2

=

400(1+k2)2

(4+5k2)(5+4k2)

≥

400(1+k2)2

( 4+5k2+5+4k2 2 )2

=

1600(1+k2)2

81(1+k2)2

=(

40

9

)2，
当且仅当4+5k²=5+4k²时等号成立，即k=±1时等号成立，
此时△AMB面积的最小值是S△AMB=

40

9

．
当k=0，S△AMB=

1

2

×2

5

×2=2

5

＞

40

9

．
当k不存在时，S△AMB=

1

2

×

5

×4=2

5

＞

40

9

．
综上所述，△AMB的面积的最小值为

40

9

．