题目

题型：湖南省高考真题难度：来源：

在平面直角坐标系xOy中，点P到点F（3，0）的距离的4倍与它到直线x=2的距离的3倍之和记为d，当P点运动时，d恒等于点P的横坐标与18之和，
（Ⅰ）求点P的轨迹C；
（Ⅱ）设过点F的直线l与轨迹C相交于M，N两点，求线段MN长度的最大值。

答案

解：（Ⅰ）设点P的坐标为（x，y），
则，
由题设当x＞2时，
由①得，
化简得；
当x≤2时，由①得，
化简得；
故点P的轨迹C是椭圆在直线x=2的右侧部分
与抛物线在直线x=2的左侧部分
（包括它与直线x=2的交点）所组成的曲线，参见图1；（Ⅱ）如图2所示，易知直线x=2与的
交点都是，
直线AF，BF的斜率分别为，
当点P在C₁上时，由②知，④
当点P在C₂上时，由③知|PF|=3+x，⑤
若直线l的斜率k存在，则直线l的方程为y=k（x-3），
（1）当k≤时，
直线l与轨迹C的两个交点都在C₁上，
此时由④知，
从而∣MN∣=∣MF∣+∣NF∣
=，
由得，
则是这个方程的两根，
所以*
∣MN∣=，
因为当，
，
当且仅当时，等号成立。
（2）当时，
直线l与轨迹C的两个交点分别在上，
不妨设点M在C₁上，点C₂上，
则④⑤知，，
设直线AF与椭圆C₁的另一交点为E，
，
所以，
而点A，E都在C₁上，且，
有（1）知，
若直线l的斜率不存在，则=3，
此时，；
综上所述，线段MN长度的最大值为。