设抛物线C：x2=2py（p＞0），过它的焦点F且斜率为1的直线与抛物线C相交于A，B两点，已知|AB|=2．
（1）求抛物线C的方程；
（2）已知t是一个负实数，P是直线y=t上一点，过P作直线l1与l2，使l1⊥l2，若对任意的点P，总存在这样的直线l1与l2，使l1，l2与抛物线均有公共点，求t的取值范围． |
（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），则|AB|=|x1-x2|=•
由题意知，抛物线的焦点F为（0，），则直线AB的方程为y-=1×(x-0)，即为y=x+，
联立抛物线方程得到整理得x2-2px-p2=0（p＞0），则
故|AB|=•=•2p=4p=2，解得p=
故抛物线C的方程为：x2=y；
（2）由（1）知抛物线C的方程为：x2=y，如图示，设C（xC，xC2），P（0，t），
由题意知，只需使过点P（0，t）的抛物线x2=y的切线PC的垂线PD与该抛物线有交点即可，
将抛物线的方程改写为y=x2，求导得y ′=2x
所以过点C的切线PC的斜率是2xC=，即xC2=-t
由于直线PD与切线PC垂直，故直线PD的斜率为-
则直线PD的方程为：y-t=-x，即是y=-x+t
联立抛物线的方程y=x2得到x2+x-t=0
由于PD与该抛物线有交点，则△=()2+4t≥0，即+4t≥0（t＜0）
解得 -≤t＜0，则t的取值范围为{t|-≤t＜0}． |
核心考点
试题【设抛物线C：x2=2py（p＞0），过它的焦点F且斜率为1的直线与抛物线C相交于A，B两点，已知|AB|=2．（1）求抛物线C的方程；（2）已知t是一个负实数，】；主要考察你对
曲线与方程的应用等知识点的理解。
[详细]举一反三
已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率e=，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线l与椭圆相交于不同的两点A、B，已知点A的坐标为（-a，0）．
（i）若|AB|=，求直线l的倾斜角；
（ii）若点Q（0，y0）在线段AB的垂直平分线上，且•=4．求y0的值． |
如图，已知点A（0，2）和抛物线y2=x+4上两点B、C，使得AB⊥BC，求点C的纵坐标的取值范围． |
| 过双曲线x2-=1的右焦点作直线l交双曲线于A、B两点，若实数λ使得|AB|=λ的直线l恰有3条，则λ=______． |
设双曲线xy=1的两支为C1，C2（如图），正三角形PQR的三顶点位于此双曲线上．
（1）求证：P、Q、R不能都在双曲线的同一支上；
（2）设P（-1，-1）在C2上，Q、R在C1上，求顶点Q、R的坐标． |
| 直线y=x+1被椭圆x2+2y2=4所截得的弦的中点坐标是（ ） |
