已知椭圆x2a2+y2b2=1与双曲线x23-y22=1具有相同的焦点F1，F2，且顶点P（0，b）满足cos∠F1PF2=-19．（1）求椭圆的方程；（2）设 - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

题型：不详难度：来源：

已知椭圆

=1与双曲线

=1具有相同的焦点F₁，F₂，且顶点P（0，b）满足cos∠F1PF2=-

．
（1）求椭圆的方程；
（2）设过抛物线x²=12y焦点F的直线交椭圆于A、B两点，若

=λ

，求实数λ的范围．

答案

（1）∵双曲线

=1的焦点F₁（-

，0），F₂（

，0），
∴椭圆

=1的焦点F₁（-

，0），F₂（

，0），
∴a²-b²=5．
∵椭圆

=1的顶点P（0，b）满足cos∠F1PF2=-

，
∴

2a2-20

2a2

，
解得a²=9，
∴b²=4，
故椭圆的方程为：

=1．
（2）设直线AB的方程为y=kx+3，
联立方程组

y=kx+3

，
得（4+9k²）x²+54kx+45=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵

=λ

，
∴x1+x2=(λ+1)x2=-

54k

4+9k2

，①
x1x2=λx22=

4+9k2

，②
由①得(λ+1)2x22=

(54k)2

(4+9k2)2

，③
③÷②，得

(λ+1)2

9k2

9k2+4

，
∴

(λ+1)2

≤

，
整理，得5λ²-26λ+5≤0，
∴

≤λ≤5．

核心考点

试题【已知椭圆x2a2+y2b2=1与双曲线x23-y22=1具有相同的焦点F1，F2，且顶点P（0，b）满足cos∠F1PF2=-19．（1）求椭圆的方程；（2）设】；主要考察你对曲线与方程的应用等知识点的理解。[详细]

举一反三

已知双曲线与椭圆

=1的焦点重合，它们的离心率之和为

，求双曲线的方程．

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选做题
A．选修4-2矩阵与变换
已知矩阵A=

1	2
-1	4

，向量

．
（Ⅰ）求A的特征值λ₁、λ₂和特征向量α₁、α₂；（Ⅱ）计算A⁶α的值．
B．选修4-4坐标系与参数方程
已知直线l的参数方程为

x=4-2t

y=t-2

（t为参数），P是椭圆

+y2=1上任意一点，求点P到直线l的距离的最大值．

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已知椭圆C：

=1(a＞b＞0)的某个焦点为F，双曲线G：

=1（a，b＞0）的某个焦点为F．
（1）请在______上补充条件，使得椭圆的方程为

+y2=1；友情提示：不可以补充形如a=

，b=1之类的条件．
（2）命题一：“已知抛物线y²=2px（p＞0）的焦点为F，定点P（m，n）满足n²-2pm＞0，以PF为直径的圆交y轴于A、B，则直线PA、PB与抛物线相切”．命题中涉及了这么几个要素：对于任意抛物线P（x，y），定点P，以PF为直径的圆交F（0，1）轴于A、B，PA、PB与抛物线相切．试类比上述命题分别写出一个关于椭圆C和双曲线G的类似正确的命题；
（3）证明命题一的正确性．

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如图，已知双曲线

=1（b＞a＞0）且a∈[1，2]，它的左、右焦点为F₁，F₂，左右顶点分别为A、B．过F₂作圆x²+y²=a²的切线，切点为T，交双曲线与P、Q两点．
（Ⅰ）求证直线PQ与双曲线的一条渐近线垂直．
（Ⅱ）若M为PF₂的中点，O为坐标原点，|OM|-|MT|=1，|PQ|=λ|AB|，求实数λ的取值范围．

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椭圆

=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F₁、F₂，过F₁的直线l与椭圆交于A、B两点．
（1）如果点A在圆x²+y²=c²（c为椭圆的半焦距）上，且|F₁A|=c，求椭圆的离心率；
（2）若函数y=

+logmx，（m＞0且m≠1）的图象，无论m为何值时恒过定点（b，a），求

F2B

•

F2A

的取值范围．

题型：越秀区模拟难度：| 查看答案

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