题目

题型：不详难度：来源：

过椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上的动点P向圆0：x²+y²=b²引两条切线PA，PB，设切点分别是A，B，若直线AB与x轴，y轴分别交于M，N两点，则△MON面积的最小值是______．

答案

设点P（x₀，y₀），则以|OP|为直径的圆的方程为x2-x0x+y2-y0y=0，
与⊙O的方程x²+y²=b²相减得x0x+y0y=b2，即是过切点A，B的直线方程，（x₀y₀≠0）．
令x=0，得y=

b2

y0

，∴N(0，

b2

y0

)；令y=0，得x=

b2

x0

，∴M(

b2

x0

，0)．
∴|MN|=

( b2 x0 )2+( b2 y0 )2

=

b2 x 20 + y 20

|x0y0|

，
点O到直线MN的距离d=

b2

x 20 + y 20

，
∴S_△OMN=

1

2

d|MN|=

1

2

b4

|x0y0|

，
∵点P在椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上，
∴a2b2=b2

x

20

+a2

y

20

≥2ab

x 20 y 20

=2ab|x₀y₀|，当且仅当|bx₀|=|ay₀|时取等号．
∴2|x₀y₀|≤ab，
∴S_△OMN≥

b4

ab

=

b3

a

．
故△MON面积的最小值是

b3

a

．
故答案为

b3

a

．