题目

题型：不详难度：来源：

已知椭圆4x²+y²=1及直线y=x+m．
（1）当直线与椭圆有公共点时，求实数m的取值范围．
（2）求被椭圆截得的最长弦所在直线方程．

答案

（1）由

4x2+y2=1 y=x+m

得5x²+2mx+m²-1=0，
当直线与椭圆有公共点时，△=4m²-4×5（m²-1）≥0，即-4m²+5≥0，
解得-

5

2

≤m≤

5

2

，
所以实数m的取值范围是-

5

2

≤m≤

5

2

；
（2）设所截弦的两端点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由（1）知，x1+x2=-

2m

5

，x1x2=

m2-1

5

，
所以弦长|AB|=

2

|x1-x2|=

2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

2

•

(- 2m 5 )2- 4(m2-1) 5

=

2 2 • 5-4m2

5

，
当m=0时|AB|最大，此时所求直线方程为y=x．