已知直线l:y=ax+1与双曲线C:3x2-y2=1相交于A、B两点. (1)求实数a的取值范围; (2)当实数a取何值时,以线段AB为直径的圆经过坐标原点. |
解(1)联立方程组,得(3-a2)x2-2ax-2=0. …(2分) ∵直线l与曲线C有两个交点A、B, ∴ | 3-a2≠0 | △=4a2-4(3-a2)(-2)>0 |
| | ,即. …(4分) ∴实数a的取值范围是-<a<且a≠±. …(5分) (2)设点A、B的坐标为(x1,y1)、(x2,y2). …(6分) 由(1)可知,. ∵以线段AB为直径的圆经过原点, ∴⊥,即x1x2+y1y2=0. …(8分) 又y1=ax1+1,y2=ax2+1, ∴x1x2+(ax1+1)(ax2+1)=0, 即(a2+1)•+a•+1=0,解得a=±1(都满足(1)求出的条件) …(11分) ∴a=±1时,以线段AB为直径的圆经过坐标原点. …(12分) |
核心考点
试题【已知直线l:y=ax+1与双曲线C:3x2-y2=1相交于A、B两点.(1)求实数a的取值范围;(2)当实数a取何值时,以线段AB为直径的圆经过坐标原点.】;主要考察你对
曲线与方程的应用等知识点的理解。
[详细]
举一反三
已知椭圆+=1,点M(2,3)过M点引直线交椭圆于A、B两点,求弦AB的中点P的轨迹方程. |
曲线y=ax2与直线y=kx+b相交于两点,它们的横坐标为x1、x2,而x3是直线与x轴交点的横坐标,那么( )A.x3=x1+x2 | B.x3=+ | C.x1x3=x2x3+x1x2 | D.x1x2=x2x3+x3x1 |
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已知椭圆:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,以F1为顶点,F2为焦点的抛物线经过椭圆短轴的两端点,则a:b=______. |
过抛物线y2=4x的焦点作直线与此抛物线交于P,Q两点,那么线段PQ中点的轨迹方程是______. |
抛物线的顶点在坐标原点,焦点是椭圆x2+2y2=8的一个焦点,则此抛物线的焦点到其准线的距离等于是______. |