题目

题型：不详难度：来源：

已知抛物线C的方程为y²=2x，焦点为F，
（1）若C的准线与x轴的交点为D，过D的直线l与C交于A，B两点，且|

.

FA

|=2|

.

FB

|，求直线l的斜率；
（2）设点P是C上的动点，点R，N在y轴上，圆M：（x-1）²+y²=1内切于△PRN，求△PRN面积的最小值．

答案

（1）由抛物线C的方程为y²=2x，得其焦点F（

1

2

，0），
准线方程为x=-

1

2

，所以D（-

1

2

，0），
由题意设直线l的斜率为k（k≠0），则直线l的方程为y=kx+

k

2

．
联立

y=kx+ k 2 y2=2x

，得4k²x²+（4k²-8）x+k²=0．
设直线l与C交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x1+x2=

2

k2

-1，x1x2=

1

4

①
由|

.

FA

|=2|

.

FB

|，得x1-2x2=

1

2

②
由①②解得x1=1，x2=

1

4

，k=±

2 2

3

．
代入△=（4k²-8）²-16k⁴中大于0成立，
所以k=±

2 2

3

；
（2）设P（x₀，y₀），R（0，b），N（0，c），且b＞c，
故直线PR的方程为（y₀-b）x-x₀y+x₀b=0．
由题设知，圆心（1，0）到直线PR的距离为1，
即

|y0-b+x0b|

(y0-b)2+x02

=1．
注意到x₀＞2，化简上式，得（x₀-2）b²+2y₀b-x₀=0，
同理可得（x₀-2）c²+2y₀c-x₀=0．
由上可知，b，c为方程（x₀-2）x²+2y₀x-x₀=0的两根，
根据求根公式，可得b-c=

4x02+4y02-8x0

x0-2

=

2x0

x0-2

．
故△PRN的面积为S=

1

2

(b-c)x0=

x02

x0-2

=(x0-2)+

4

x0-2

+4≥2

(x0-2)• 4 x0-2

+4=8，
等号当且仅当x₀=4时成立．此时点P的坐标为（4，2

2

）或（4，-2

2

）．
综上所述，当点P的坐标为（4，2

2

）或（4，-2

2

）时，△PRN的面积取最小值8．