题目

题型：深圳二模难度：来源：

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率e=

2

2

，左、右焦点分别为F₁、F₂，点P(2，

3

)满足：F₂在线段PF₁的中垂线上．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若斜率为k（k≠0）的直线l与x轴、椭圆C顺次相交于点A（2，0）、M、N，且∠NF₂F₁=∠MF₂A，求k的取值范围．

答案

（1）解法一：椭圆C的离心率e=

2

2

，得

c

a

=

2

2

，其中c=

a2-b2

椭圆C的左、右焦点分别为F₁（-c，0），、F₂（c，0），
又点F₂在线段PF₁的中垂线上，∴F₁F₂=PF₂，∴(2c)2=(

3

)2+(2-c)2
解得c=1，a²=2，b²=1，∴椭圆C的方程为

x2

2

+y2=1．…（6分）
解法二：椭圆C的离心率e=

2

2

，得

c

a

=

2

2

，其中c=

a2-b2

椭圆C的左、右焦点分别为F₁（-c，0），、F₂（c，0），
设线段PF₁的中点为D，∵F₁（-c，0），P(2，

3

)，∴D(

2-c

2

，

3

2

)，
又线段PF₁的中垂线过点F₂，∴kPF1•kDF2=-1，即

3

2+c

•

3 2

2-c 2 -c

=-1⇒c=1，a²=2，b²=1，
∴椭圆方程为

x2

2

+y2=1
（2）由题意，直线l的方程为y=k（x-2），且k≠0，
联立

y=k(x-2) x2 2 +y2=1

，得（1+2k²）x²-8k²x+8k²-2=0，
由△=8（1-2k²）＞0，得-

2

2

＜k＜

2

2

，且k≠0
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则有x1+x2=

8k2

1+2k2

，x1x2=

8k2-2

1+2k2

，（*）
∵∠NF₂F₁=∠MF₂A，且由题意∠NF₂A≠90°，∴kMF2+kNF2=0，
又F₂（1，0），∴

y1

x1-1

+

y2

x2-1

=0，即

k(x1-2)

x1-1

+

k(x2-2)

x2-1

=0，
∴2-(

1

x1-1

+

1

x2-1

)=0，整理得2x₁x₂-3（x₁+x₂）+4=0，
将（*）代入得，

16k2-4

1+2k2

-

24k2

1+2k2

+4=0，知上式恒成立，故直线l的斜率k的取值范围是(-

2

2

，0)∪(0，

2

2

)． …（12分）