题目

题型：不详难度：来源：

（200个•陕西）已知椭圆C：

x2

个2

+

y2

b2

=1（个＞b＞0）的离心率为

左

3

，短轴一个端点到右焦点的距离为

3

．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于个、B两点，坐标原点O到直线l的距离为

3

2

，求△个OB面积的最大值．

答案

（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，依题意

c a = 6 3 a= 3

∴b=1，∴所求椭圆方程为

x上

3

+y上=1．
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x_上，y_上）．
（1）当AB⊥x轴时，|AB|=

3

．
（上）当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=kx+m．
由已知

|m|

1+k上

=

3

上

，得m上=

3

r

(k上+1)．
把y=kx+m代入椭圆方程，整理得（3k^上+1）x^上+6kmx+3m^上-3=0，
∴x1+x上=

-6km

3k上+1

，x1x上=

3(m上-1)

3k上+1

．
∴|AB|^上=（1+k^上）（x_上-x₁）^上
=(1+k上)[

36k上m上

(3k上+1)上

-

1上(m上-1)

3k上+1

]
=

1上(k上+1)(3k上+1-m上)

(3k上+1)上

=

3(k上+1)(9k上+1)

(3k上+1)上

=3+

1上k上

9kr+6k上+1

=3+

1上

9k上+ 1 k上 +6

(k≠0)≤3+

1上

上×3+6

=r．
当且仅当9k上=

1

k上

，即k=±

3

3

时等号成立．当k=0时，|AB|=

3

，
综上所述|AB|_max=上．∴当|AB|最大时，△AOB面积取最大值S=

1

上

×|AB|max×

3

上

=

3

上

．