P（x0，y0）（x0≠±a）是双曲线E：x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)上一点，M，N分别是双曲线E的左右顶点，直线PM，PN的斜率之积为15．（1） - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

题型：不详难度：来源：

P（x₀，y₀）（x₀≠±a）是双曲线E：

=1(a＞0，b＞0)上一点，M，N分别是双曲线E的左右顶点，直线PM，PN的斜率之积为

．
（1）求双曲线的离心率；
（2）过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，C为双曲线上一点，满足

=λ

，求λ的值．

答案

（1）∵P（x₀，y₀）（x₀≠±a）是双曲线E：

=1(a＞0，b＞0)上一点，
∴

x02

y02

=1，
由题意又有

x0-a

•

x0+a

，
可得a²=5b²，c²=a²+b²，
则e=

，
（2）联立

x2-5y2=5b2

y=x-c

，得4x²-10cx+35b²=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x₁+x₂=

，x₁•x₂=

35b2

，
设

=（x₃，y₃），

=λ

，
即

x3=λx1+x2

y3=λy1+y2

又C为双曲线上一点，即x₃²-5y₃²=5b²，
有（λx₁+x₂）²-5（λy₁+y₂）²=5b²，
化简得：λ²（x₁²-5y₁²）+（x₂²-5y₂²）+2λ（x₁x₂-5y₁y₂）=5b²，
又A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）在双曲线上，所以x₁²-5y₁²=5b²，x₂²-5y₂²=5b²，
而x₁x₂-5y₁y₂=x₁x₂-5（x₁-c）（x₂-c）=-4x₁x₂+5c（x₁+x₂）-5c²=10b²，
得λ²+4λ=0，解得λ=0或-4．

核心考点

试题【P（x0，y0）（x0≠±a）是双曲线E：x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)上一点，M，N分别是双曲线E的左右顶点，直线PM，PN的斜率之积为15．（1）】；主要考察你对曲线与方程的应用等知识点的理解。[详细]

举一反三

如图，已知圆E：（x+

）²+y²=16，点F（

，0），P是圆E上任意一点．线段PF的垂直平分线和半径PE相交于Q．
（Ⅰ）求动点Q的轨迹Γ的方程；
（Ⅱ）已知A，B，C是轨迹Γ的三个动点，A与B关于原点对称，且|CA|=|CB|，问△ABC的面积是否存在最小值？若存在，求出此时点C的坐标，若不存在，请说明理由．

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已知F₁，F₂分别为椭圆C₁：

=1（a＞b＞0）的上下焦点，其F₁是抛物线C₂：x²=4y的焦点，点M是C₁与C₂在第二象限的交点，且|MF₂|=

．
（1）试求椭圆C₁的方程；
（2）与圆x²+（y+1）²=1相切的直线l：y=k（x+t）（t≠0）交椭圆于A，B两点，若椭圆上一点P满足

=λ

，求实数λ的取值范围．

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以抛物线y²=4x的焦点为右焦点的椭圆，上顶点为B₂，右顶点为A₂，左、右焦点为F₁、F₂，且|

F1B2

|cos∠B₂F₁F₂=

OB2

|，过点D（0，2）的直线l，斜率为k（k＞0），l与椭圆交于M，N两点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若M，N的中点为H，且

∥

A2B2

，求出斜率k的值；
（3）在x轴上是否存在点Q（m，0），使得以QM，QN为邻边的四边形是个菱形？如果存在，求出m的范围；否则，请说明理由．

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如图，已知椭圆C：

=1（a＞b＞0）的离心率e=

，过右焦点F且与x轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，且|AB|=

．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线l：y=kx+t（t≠0）与椭圆C相交于M，N两点，直线AO平分线段MN，求△OMN的面积的最大值及此时直线l的方程．

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已知椭圆C₁：

=1，抛物线C₂：（y-m）²=2px（p＞0），且C₁、C₂的公共弦AB过椭圆C₁的右焦点．
（Ⅰ）当AB⊥x轴时，求m、p的值，并判断抛物线C₂的焦点是否在直线AB上；
（Ⅱ）是否存在m、p的值，使抛物线C₂的焦点恰在直线AB上？若存在，求出符合条件的m、p的值；若不存在，请说明理由．

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