已知椭圆C1：x24+y2=1，椭圆C2以C1的长轴为短轴，且与C1有相同的离心率．（1）求椭圆C2的方程；（2）设O为坐标原点，点A，B分别在椭圆C1和C2上 - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

题型：不详难度：来源：

已知椭圆C₁：

+y²=1，椭圆C₂以C₁的长轴为短轴，且与C₁有相同的离心率．
（1）求椭圆C₂的方程；
（2）设O为坐标原点，点A，B分别在椭圆C₁和C₂上，

，求直线AB的方程．

答案

（1）椭圆C1：

+y2=1的长轴长为4，离心率为e=

∵椭圆C₂以C₁的长轴为短轴，且与C₁有相同的离心率
∴椭圆C₂的焦点在y轴上，2b=4，为e=

∴b=2，a=4
∴椭圆C₂的方程为

=1；
（2）设A，B的坐标分别为（x_A，y_A），（x_B，y_B），
∵

∴O，A，B三点共线，且点A，B不在y轴上
∴设AB的方程为y=kx
将y=kx代入

+y2=1，消元可得（1+4k²）x²=4，∴xA2=

1+4k2

将y=kx代入

=1，消元可得（4+k²）x²=16，∴xB2=

4+k2

∵

，∴xB2=4xA2，
∴

4+k2

1+4k2

，解得k=±1，
∴AB的方程为y=±x

核心考点

试题【已知椭圆C1：x24+y2=1，椭圆C2以C1的长轴为短轴，且与C1有相同的离心率．（1）求椭圆C2的方程；（2）设O为坐标原点，点A，B分别在椭圆C1和C2上】；主要考察你对曲线与方程的应用等知识点的理解。[详细]

举一反三

已知椭圆C：

=1（a＞b＞0）的离心率为

，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线x-y+

=0相切．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设P（4，0），M，N是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点，连接PN交椭圆C于另一点E，求直线PN的斜率的取值范围；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，证明直线ME与x轴相交于定点．

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已知双曲线的中心在原点，左右焦点分别为F₁，F₂，离心率为

，且过点(4，-

)，
（1）求此双曲线的标准方程；
（2）若直线系kx-y-3k+m=0（其中k为参数）所过的定点M恰在双曲线上，求证：F₁M⊥F₂M．

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如图，线段MN的两个端点M、N分别在x轴、y轴上滑动，|MN|=5，点P是线段MN上一点，且

，点P随线段MN的运动而变化．
（1）求点P的轨迹C的方程；
（2）过点（2，0）作直线l，与曲线C交于A、B两点，O是坐标原点，设

，是否存在这样的直线l，使四边形OASB的对角线相等（即|OS|=|AB|）？若存在，求出直线l的方程；若不存在，试说明理由．

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如图所示，F₁、F₂分别为椭圆C：

=1(a＞b＞0)的左、右两个焦点，A、B为两个顶点，已知椭圆C上的点(1，

)到F₁、F₂两点的距离之和为4．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过椭圆C的焦点F₂作AB的平行线交椭圆于P、Q两点，求△F₁PQ的面积．

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已知抛物线C的方程为x²=2py（p＞0），焦点F为（0，1），点P（x₁，y₁）是抛物线上的任意一点，过点P作抛物线的切线交抛物线的准线l于点A（s，t）．
（1）求抛物线C的标准方程；
（2）若x₁∈[1，4]，求s的取值范围．
（3）过点A作抛物线C的另一条切线AQ，其中Q（x₂，y₂）为切点，试问直线PQ是否恒过定点，若是，求出定点；若不是，请说明理由．

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