题目
题型:不详难度:来源:
| ||
2 |
(1)求椭圆C的方程;
(2)若抛物线E:y2=2px(p>0)与椭圆C相交于点M、N,当△OMN(O是坐标原点)的面积取得最大值时,求P的值.
(3)在(2)的条件下,过点F2作任意直线l与抛物线E相交于点A、B两点,则直线AF1与直线BF1的斜率之和是否为定值?若是,求出定值;若不是,说明理由.
答案
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
∵椭圆C的焦点为F1(-1,0)、F2(1,0),点P(-1,
| ||
2 |
∴2a=|PF1|+|PF2|=
0+(
|
4+(
|
2 |
∴a=
2 |
∴b=
a2-b2 |
∴椭圆C的方程为
x2 |
2 |
(2)根据椭圆和抛物线的对称性,
设M(x0,y0)、N(x0,-x0),(x0,y0>0)…(5分),
△OMN的面积S=
1 |
2 |
∵M(x0,y0)在椭圆上,∴
x02 |
2 |
x02 |
2 |
那么S2=x02y02=x02(1-
x02 |
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
当x02=1时,Smax2=
1 |
2 |
即当x0=1,(x0>1)时,Smax=
| ||
2 |
将x0=1代入y02=1-
x02 |
2 |
|
∵M(1,
| ||
2 |
1 |
2 |
解得p=
1 |
4 |
(3)(A)当直线l垂直于x轴时,
根据抛物线的对称性,有∠AF1F2=∠BF1F2,
则kAF2+kBF1=0.…(10分),
(B)当直线l与x轴不垂直时,
依题意设直线l的方程为y=k(x-1),k≠0,
A(x1,y1),B(x2,y2),则A,B两点的坐标满足方程组
|
化简得2k2x2-(4k2+1)x+2k2=0,
依韦达定理得
|
又kAF1=
y1 |
x1+1 |
k(x1-1) |
x1+1 |
k(x2-1) |
x2+1 |
∴kAF1+kAF1=
k(x1-1) |
x1+1 |
k(x2-1) |
x2+1 |
=
k(x1-1)(x2+1)+k(x2-1)(x1+1) |
(x1+1)(x2+1) |
=
2k(x1x2-1) |
(x1+1)(x2+1) |
把
|
综上,直线AF1与直线BF1的斜率之和为定值0.…(14分),
核心考点
试题【已知椭圆C的焦点为F1(-1,0)、F2(1,0),点P(-1,22)在椭圆上.(1)求椭圆C的方程;(2)若抛物线E:y2=2px(p>0)与椭圆C相交于点M】;主要考察你对曲线与方程的应用等知识点的理解。[详细]
举一反三
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
3 |
| ||
2 |
1 |
2 |
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)求证:
1 |
|AB| |
1 |
|CD| |
(Ⅲ)求|AB|+
9 |
16 |
(I)求椭圆的方程;
(Ⅱ)若直线l同时满足下列三个条件:①与直线B1F平行;②与椭圆交于两个不同的点P、Q;③S△POQ=
2 |
3 |
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
1 |
2 |
3 |
2 |
4
| ||
3 |
x2-9 |
A1P |
OM |
A2P |
OM |
A1P |
A2P |
(1)求P点的轨迹方程,并判断P点的轨迹是怎样的曲线;
(2)过点A1且斜率为1的直线与(1)中的曲线相交的另一点为B,能否在直线x=-9上找一点C,使△A1BC为正三角形.
x2 |
16 |
y2 |
4 |
A.x+4y-5=0 | B.x-4y-5=0 | C.4x+y-5=0 | D.4x-y-5=0 |
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