题目
题型:不详难度:来源:
(I)若点是点关于坐标原点的对称点,求面积的最小值;
(II)是否存在垂直于轴的直线,使得被以为直径的圆截得的弦长恒为定值?若存在,求出的方程;若不存在,说明理由.
答案
(Ⅱ)
解析
(Ⅰ)依题意,点的坐标为,可设,
直线的方程为,与联立得消去得.
由韦达定理得,.
于是.
,
当时,.
(Ⅱ)假设满足条件的直线存在,其方程为,
的中点为,与为直径的圆相交于点,的中点为,
则,点的坐标为.
,
,
,
.
令,得,此时为定值,故满足条件的直线存在,其方程为,
即抛物线的通径所在的直线.
解法2:(Ⅰ)前同解法1,再由弦长公式得
,
又由点到直线的距离公式得.
从而,
当时,.
(Ⅱ)假设满足条件的直线存在,其方程为,则以为直径的圆的方程为,
将直线方程代入得,
则.
设直线与以为直径的圆的交点为,
则有.
令,得,此时为定值,故满足条件的直线存在,其方程为,
即抛物线的通径所在的直线.
核心考点
试题【在平面直角坐标系中,过定点作直线与抛物线()相交于两点.(I)若点是点关于坐标原点的对称点,求面积的最小值;(II)是否存在垂直于轴的直线,使得被以为直径的圆截】;主要考察你对曲线与方程的应用等知识点的理解。[详细]
举一反三
(Ⅰ)求W的方程;
(Ⅱ)经过点(0, )且斜率为k的直线l与曲线W有两个不同的交点P和Q,
求k的取值范围;
(Ⅲ)已知点M(,0),N(0, 1),在(Ⅱ)的条件下,是否存在常数k,使得向量与共线?如果存在,求出k的值;如果不存在,请说明理由.
(1)求实数的取值范围;
(2)求证:;
(3)若O为坐标原点,且.
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