题目

题型：不详难度：来源：

已知椭圆的一个焦点F₁(0，－2)，对应的准线方程为y＝－，且离心率e满足：，e，成等比数列．
(1)求椭圆方程；
(2)是否存在直线l，使l与椭圆交于不同的两点M、N，且线段MN恰被直线x＝－
平分．若存在，求出l的倾斜角的范围；若不存在，请说明理由．

答案

（1）x²＋y²＝1；（2）存在，直线l倾斜角α∈(，)∪(，)。

解析

依题意e＝．
(1)∵－c＝
∴a＝3，c＝2，b＝1，
又F₁(0，－2)，对应的准线方程为y＝－．
∴椭圆中心在原点，所求方程为x²＋y²＝1                       
(2)假设存在直线l，依题意l交椭圆所得弦MN被x＝－平分，∴直线l的斜率
存在．设直线l：y＝kx＋m
由 消去y，整理得
(k²＋9)x²＋2kmx＋m²－9＝0
∵l与椭圆交于不同的两点M，N，
∴Δ＝4k²m²－4(k²＋9)(m²－9)＞0
即m²－k²－9＜0                 ①
设M(x₁，y₁)，N(x₂，y₂)
∴，                                         
∴m＝               ②
把②代入①式中得
－(k²＋9)＜0
∴k＞或k＜－
∴直线l倾斜角α∈(，)∪(，)