题目

题型：不详难度：来源：

（本小题满分13分）
在平面直角坐标系中，已知点，点在直线上运动，过点与垂直的直线和的中垂线相交于点．
（Ⅰ）求动点的轨迹的方程；
（Ⅱ）设点是轨迹上的动点，点，在轴上，圆（为参数）内切于，求的面积的最小值．

答案

（1）（2）当点的坐标为或时，的面积取最小值

解析

（Ⅰ）设点的坐标为，由题设知，．
所以动点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，其方程为．      ……分
（Ⅱ）设，，，且，
故直线的方程为．
由消去参数，得．                           ……分
由题设知，圆心到直线的距离为，即．
注意到，化简上式，得，同理可得
．
由上可知，，为方程的两根，根据求根公式，可得
．                                                   ……分
故的面积为
，等号当且仅当时成立．此时点的坐标为或．
综上所述，当点的坐标为或时，的面积取最小值．
……分