题目

题型：不详难度：来源：

（本小题16分）
已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为轴，焦点在直线上，直线与抛物线相交于两点，为抛物线上一动点（不同于），直线分别交该抛物线的准线于点。
（1）求抛物线方程；
（2）求证：以为直径的圆经过焦点，且当为抛物线的顶点时，圆与直线相切。

答案

（1）
（2）证明见解析

解析

（1）依题意，焦点，抛物线方程为。……………4分

（2）由得，，，
∴。            ……………………6分
设，则，
直线：，令，
得，即， ……………………8分
同理，直线：，令，得，
即，……………………10分
∴，∴，
∴以为直径的圆经过焦点。  ……………………13分
当为抛物线的顶点时，，可得中点，即圆心，
，，∴，即，
∴圆与直线相切。