题目
题型:不详难度:来源:
已知双曲线:和圆:(其中原点为圆心),过双曲线上一点引圆的两条切线,切点分别为、.
(1)若双曲线上存在点,使得,求双曲线离心率的取值范围;
(2)求直线的方程;
(3)求三角形面积的最大值.
答案
解:(1)因为,所以,所以.…………………1分
由及圆的性质,可知四边形是正方形,所以.
因为,所以,所以.……………3分
故双曲线离心率的取值范围为.…………………………………………………………4分
(2)方法1:因为,
所以以点为圆心,为半径的圆的方程为.………5分
因为圆与圆两圆的公共弦所在的直线即为直线,……………………………………………6分
所以联立方程组………………………………………………7分
消去,,即得直线的方程为.………………………………………………8分
方法2:设,已知点,
则,.
因为,所以,即.…………………………………………5分
整理得.
因为,所以.……………………………………………………………6分
因为,,根据平面几何知识可知,.
因为,所以.………………………………………………………………………7分
所以直线方程为.
即.
所以直线的方程为.………………………………………………………………8分
方法3:设,已知点,
则,.
因为,所以,即.…………………………………………5分
整理得.
因为,所以.……6分
这说明点在直线上.…………7分
同理点也在直线上.
所以就是直线的方程.……8分
(3)由(2)知,直线的方程为,
所以点到直线的距离为.
因为,
所以三角形的面积.……………………………………10分
以下给出求三角形的面积的三种方法:
方法1:因为点在双曲线上,
所以,即.
设,
所以.………………………………………………………………………………………11分
因为,
所以当时,,当时,.
所以在上单调递增,在上单调递减.……………………………………12分
当,即时,,…………………………………13分
当,即时,.
综上可知,当时,;当时,.………14分
方法2:设,则.…………………………………………11分
因为点在双曲线上,即,即.
所以.
令,则.
所以当时,,当时,.
所以在上单调递减,在上单调递增.…………………………………12分
当,即时,,……………………………………13分
当,即时,.
综上可知,当时,;当时,.………14分
方法3:设,则.…………………………………11分
因为点在双曲线上,即,即.
所以.
令,
所以在上单调递增,在上单调递减.………………………………12分
因为,所以,
当,即时,,此时.
………………………………13分
当,即时,,此时.
综上可知,当时,;当时,.………14分
解析
核心考点
试题【(本小题满分14分)已知双曲线:和圆:(其中原点为圆心),过双曲线上一点引圆的两条切线,切点分别为、.(1)若双曲线上存在点,使得,求双曲线离心率的取值范围;(】;主要考察你对曲线与方程的应用等知识点的理解。[详细]
举一反三
A.①和② | B.②和③ | C.①和④ | D.②和④ |
上与点F的距离等于的点的坐标是 ( )
A. | B. | C. | D. |
A. | B. | C. | D. |
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