题目
题型:不详难度:来源:
给定椭圆,称圆心在坐标原点,半径为的圆是椭圆的“伴随圆”. 若椭圆C的一个焦点为,其短轴上的一个端点到距离为.
(Ⅰ)求椭圆C及其“伴随圆”的方程;
(Ⅱ)若过点的直线与椭圆C只有一个公共点,且截椭圆C的“伴随圆”所得的弦长为,求的值;
(Ⅲ)过椭圆C“伴椭圆”上一动点Q作直线,使得与椭圆C都只有一个公共点,试判断直线的斜率之积是否为定值,并说明理由.
答案
则椭圆C方程为
“伴随圆”方程为 ……………3分
(Ⅱ)则设过点且与椭圆有一个交点的直线为:,
则整理得
所以,解① ……………5分
又因为直线截椭圆的“伴随圆”所得的弦长为,
则有化简得 ② ……………7分
联立①②解得,,
所以,,则 ……………8分
(Ⅲ)当都有斜率时,设点其中,
设经过点与椭圆只有一个公共点的直线为,
由,消去得到 ……………10分
即, ,
经过化简得到:, ……………12分
因为,所以有,
设的斜率分别为,因为与椭圆都只有一个公共点,
所以满足方程,
因而,即直线的斜率之积是为定值 ……………14分
解析
核心考点
试题【(本小题满分14分)给定椭圆,称圆心在坐标原点,半径为的圆是椭圆的“伴随圆”. 若椭圆C的一个焦点为,其短轴上的一个端点到距离为.(Ⅰ)求椭圆C及其“伴随圆”的】;主要考察你对曲线与方程的应用等知识点的理解。[详细]
举一反三
(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;
(Ⅱ)已知点,是椭圆C上不同的两点,线段的中点为,
求直线的方程
给定椭圆,称圆心在坐标原点,半径为的圆是椭圆的“伴随圆”. 若椭圆C的一个焦点为,其短轴上的一个端点到距离为.
(Ⅰ)求椭圆及其“伴随圆”的方程;
(Ⅱ)若过点的直线与椭圆C只有一个公共点,且截椭圆C的“伴随圆”所得的弦长为,求的值;
(Ⅲ)过椭圆C“伴椭圆”上一动点Q作直线,使得与椭圆C都只有一个公共点,试判断直线的斜率之积是否为定值,并说明理由.
A.1 | B.2 | C.3 | D.4 |
A. | B. | C. | D. |
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