题目

题型：不详难度：来源：

在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，X轴的正半轴为极轴，取与直角坐标系相同的长度单位建立极坐标系.曲线C₁的参数方程为：（为参数）；射线C₂的极坐标方程为：,且射线C₂与曲线C₁的交点的横坐标为
(I )求曲线C₁的普通方程；
(II)设A、B为曲线C₁与y轴的两个交点，M为曲线C₁上不同于A、B的任意一点，若直线AM与MB分别与x轴交于P,Q两点，求证|OP|.|OQ|为定值.

答案

(Ⅰ). (Ⅱ) 见解析

解析

（Ⅰ）利用三角函数知识消参即可求得曲线的普通方程；（Ⅱ）先设出坐标，然后利用斜率公式求解，即可证明
(Ⅰ)曲线的普通方程为，射线的直角坐标方程为，…3分
可知它们的交点为，代入曲线的普通方程可求得.
所以曲线的普通方程为.………………5分
(Ⅱ) 为定值.由(Ⅰ)可知曲线为椭圆，不妨设为椭圆 的上顶点，
设,，,因为直线与分别与轴交于、两点，所以,,……7分
由斜率公式并计算得，,
所以.可得为定值.