题目
题型:不详难度:来源:
(1)求椭圆C的方程;
(2)若椭圆C的左、右顶点分别为点A,B,点M是椭圆C上异于A,B的任意一点.
①求证:直线MA,MB的斜率之积为定值;
②若直线MA,MB与直线x=4分别交于点P,Q,求线段PQ长度的最小值.
答案
解析
试题分析:(1)易知双曲线的焦点为(-2,0),(2,0),离心率为,……2分
则在椭圆C中a=2,e=,
故在椭圆C中c=,b=1,所以椭圆C的方程为 ……4分
(2)①设M(x0,y0)(x0≠±2),由题易知A(-2,0),B(2,0),
则kMA=,kMB=,故kMA·kMB==, ……6分
点M在椭圆C上,则,即,
故kMA·kMB=,即直线MA,MB的斜率之积为定值。 ……8分
②解法一:设P(4,y1),Q(4,y2),则kMA=kPA=,kMB=kBQ=,……9分
由①得,即y1y2=-3,当y1>0,y2<0时,|PQ|=|y1-y2|≥2 =,当且仅当y1=,y2=-时等号成立.……11分
同理,当y1<0,y2>0时,当且仅当,y2=时,|PQ|有最小值. ……12分
解法二:设直线MA的斜率为k,则直线MA的方程为y=k(x+2),从而P(4,6k) ……9分
由①知直线MB的斜率为,则直线MB的方程为y=(x-2),
故得,故,当且仅当时等号成立,
即|PQ|有最小值. ……12分
点评:直线与圆锥曲线位置关系的题目是每年高考必考的题目,且一般都以压轴题的形式出现,所以难度较大,关键是运算量比较大,要尽量应用数形结合简化运算,还要细心求解.
核心考点
试题【(12分)已知椭圆C:以双曲线的焦点为顶点,其离心率与双曲线的离心率互为倒数.(1)求椭圆C的方程;(2)若椭圆C的左、右顶点分别为点A,B,点M是椭圆C上异于】;主要考察你对曲线与方程的应用等知识点的理解。[详细]
举一反三
A.2 | B. | C. | D. |
A. | B. |
C.或 | D. |
A.m-a | B. | C. | D. |
,,则椭圆的离心率等于 ( )
A. | B. | C. | D. |
A. | B. | C. | D. |
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