题目
题型:不详难度:来源:
(1)求椭圆的标准方程;
(2)已知过点的直线与椭圆交于,两点.
① 若直线垂直于轴,求的大小;
② 若直线与轴不垂直,是否存在直线使得为等腰三角形?如果存在,求出直线的方程;如果不存在,请说明理由.
答案
(Ⅱ)(ⅰ)当直线垂直于轴时,直线的方程为.
(ⅱ)当直线与轴不垂直时,不存在直线使得为等腰三角形.
解析
试题分析:(Ⅰ)设椭圆的标准方程为,且.
由题意可知:,. 2分
解得.
∴ 椭圆的标准方程为. 3分
(Ⅱ)由(Ⅰ)得.设.
(ⅰ)当直线垂直于轴时,直线的方程为.
由 解得:或
即(不妨设点在轴上方). 5分
则直线的斜率,直线的斜率.
∵ ,得 .
∴ . 6分
(ⅱ)当直线与轴不垂直时,由题意可设直线的方程为.
由消去得:.
因为 点在椭圆的内部,显然.
8分
因为 ,,,
所以
.
∴ . 即为直角三角形. 11分
假设存在直线使得为等腰三角形,则.
取的中点,连接,则.
记点为.
另一方面,点的横坐标,
∴点的纵坐标.
又
故与不垂直,矛盾.
所以 当直线与轴不垂直时,不存在直线使得为等腰三角形. 13分
点评:中档题,曲线关系问题,往往通过联立方程组,得到一元二次方程,运用韦达定理。本题求椭圆、标准方程时,主要运用了椭圆的几何性质。解题过程中,运用平面向量的数量积,“化证为算”,达到证明目的。
核心考点
试题【已知焦点在轴上的椭圆过点,且离心率为,为椭圆的左顶点.(1)求椭圆的标准方程;(2)已知过点的直线与椭圆交于,两点.① 若直线垂直于轴,求的大小;② 若直线与轴】;主要考察你对曲线与方程的应用等知识点的理解。[详细]
举一反三
A.-1 | B.0 | C.1 | D.3 |
A.(0,) | B.(,1) |
C.(0,) | D.(,1) |
已知点F( 1,0),与直线4x+3y + 1 =0相切,动圆M与及y轴都相切. (I )求点M的轨迹C的方程;(II)过点F任作直线l,交曲线C于A,B两点,由点A,B分别向各引一条切线,切点 分别为P,Q,记.求证是定值.
A. | B.4 | C. | D.8 |
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