题目
题型:不详难度:来源:
给定椭圆C:,称圆心在原点O、半径是的圆为椭圆C的“准圆”.已知椭圆C的一个焦点为,其短轴的一个端点到点的距离为.
(1)求椭圆C和其“准圆”的方程;
(2)若点是椭圆C的“准圆”与轴正半轴的交点,是椭圆C上的两相异点,且轴,求的取值范围;
(3)在椭圆C的“准圆”上任取一点,过点作直线,使得与椭圆C都只有一个交点,试判断是否垂直?并说明理由.
答案
解析
试题分析:(1)由题意知,且,可得,
故椭圆C的方程为,其“准圆”方程为.
(2)由题意,可设,则有,
又A点坐标为,故,
故
,
又,故,
所以的取值范围是.
(3)设,则.
当时,,则其中之一斜率不存在,另一斜率为0,显然有.
当时,设过且与椭圆有一个公共点的直线的斜率为,
则的方程为,代入椭圆方程可得
,即,
由,
可得,其中,
设的斜率分别为,则是上述方程的两个根,
故,即.
综上可知,对于椭圆上的任意点,都有.
点评:中档题,曲线关系问题,往往通过联立方程组,得到一元二次方程,运用韦达定理。本题新定义了“准圆”,解答时要注意审题,明确其特征。本题易漏“其中之一斜率不存在,另一斜率为0, 的情况。
核心考点
试题【(本小题满分15分)给定椭圆C:,称圆心在原点O、半径是的圆为椭圆C的“准圆”.已知椭圆C的一个焦点为,其短轴的一个端点到点的距离为.(1)求椭圆C和其“准圆”】;主要考察你对曲线与方程的应用等知识点的理解。[详细]
举一反三
A. | B. | C. | D. |
(1)求的值。
(2)在抛物线上是否存在点,使得的重心恰为抛物线的焦点,若存在,求点的坐标,若不存在,请说明理由。
A. | B. | C. | D. |
A.椭圆 | B.双曲线 | C.抛物线 | D.以上都不对 |
A. | B.4 | C. | D.5 |
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