题目
题型:不详难度:来源:
(1)求椭圆C的方程
(2)设斜率为k(k≠0)的直线l与椭圆C相交于不同的两点A、B,Q为AB的中点,;问A、B两点能否关于过点P、Q的直线对称?若能,求出k的取值范围;若不能,请说明理由.
答案
(2)当k∈(﹣,0)∪(0,)时,A、B两点关于过点P、Q的直线对称
解析
试题分析:(1)由M是椭圆短轴的一个端点,且满足=0,可得△F1F2M是一个以M为直角的等腰直角三角形,结合点N( 0,3 )到椭圆上的点的最远距离为5,求出a,b的值,可得椭圆的方程;
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),Q(x0,y0),将A,B两点代入椭圆方程,利用点差法,可得x0+2ky0=0,根据对称的性质,可得y0=﹣x0﹣,再结合Q点在椭圆内部,构造关于k的不等式,解不等式可得k的范围.
(1)∵M是椭圆短轴的一个端点,且满足=0,
即△F1F2M是一个以M为直角的等腰直角三角形
故椭圆方程可表示为:
设H( x,y )是椭圆上的一点,
则|NH|2=x2+(y﹣3)2=﹣(y+3)2+2b2+18,其中﹣b≤y≤b
若0<b<3,则当y=﹣b时,|NH|2有最大值b2+6b+9,
所以由b2+6b+9=50解得b=﹣3±5(均舍去)
若b≥3,则当y=﹣3时,|NH|2有最大值2b2+18,
所以由2b2+18=50解得b2=16
∴所求椭圆方程为
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),Q(x0,y0),Q为AB的中点
∴x0=,y0=,
则由两式相减得:x0+2ky0=0…①
又由直线PQ⊥l,
∴直线PQ的方程为y=﹣x﹣
将Q(x0,y0)坐标代入得:y0=﹣x0﹣…②
由①②得Q(﹣k,)
而Q点在椭圆内部
∴,即k2<
又∵k≠0
∴k∈(﹣,0)∪(0,)
故当k∈(﹣,0)∪(0,)时,A、B两点关于过点P、Q的直线对称
点评:本题考查的知识点是直线与圆锥曲线,椭圆的标准方程,是高考的压轴题型,运算量大,综合性强,属于难题
核心考点
试题【椭圆C:=1(a>b>0)的两个焦点分别为F1(﹣c,0),F2(c,0),M是椭圆短轴的一个端点,且满足=0,点N( 0,3 )到椭圆上的点的最远距离为5(1】;主要考察你对曲线与方程的应用等知识点的理解。[详细]
举一反三
A. | B. | C. | D. |
A. | B. | C. | D. |
如图,为椭圆上的一个动点,弦、分别过焦点、,当垂直于轴时,恰好有
(Ⅰ)求椭圆的离心率;
(Ⅱ)设.
①当点恰为椭圆短轴的一个端点时,求的值;
②当点为该椭圆上的一个动点时,试判断是否为定值?
若是,请证明;若不是,请说明理由.
A. | B. | C. | D. |
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