题目
题型:不详难度:来源:
如图,为椭圆上的一个动点,弦、分别过焦点、,当垂直于轴时,恰好有
(Ⅰ)求椭圆的离心率;
(Ⅱ)设.
①当点恰为椭圆短轴的一个端点时,求的值;
②当点为该椭圆上的一个动点时,试判断是否为定值?
若是,请证明;若不是,请说明理由.
答案
解析
试题分析:(Ⅰ)法一:设,则.由题设及椭圆定义得
,消去得,所以离心率. ………………2分
法二:由椭圆方程得,又,,即,可求.
(Ⅱ)法一:由(Ⅰ)知,,所以椭圆方程可化为.
①当A点恰为椭圆短轴的一个端点时,,直线的方程为.
由得,解得,
∴点的坐标为.
又,所以,,所以,. ………5分
②当A点为该椭圆上的一个动点时,为定值6.
证明:设,,则.
若为椭圆的长轴端点,则或,
所以. ………………7分
若为椭圆上异于长轴端点的任意一点,则由得,,所以.
又直线的方程为,所以由得
.
,∴.
由韦达定理得 ,所以. 同理.
∴.
综上证得,当A点为该椭圆上的一个动点时,为定值6. ………………12分
法二:设,,则
∵,∴; ………………6分
又①,②,将、代入②得:
即③;
③①得:; ……………10分
同理:由得,∴,
∴. ……………12分
点评:解决该试题的关键是能利用联立方程组的方法,结合韦达定理,以及判别式,来表示参数的值,进而结合函数的表达式化简求解为定值,考查了分析问题和解决问题的能力,属于中档题。
核心考点
试题【(本小题满分12分)如图,为椭圆上的一个动点,弦、分别过焦点、,当垂直于轴时,恰好有(Ⅰ)求椭圆的离心率;(Ⅱ)设.①当点恰为椭圆短轴的一个端点时,求的值;②当】;主要考察你对曲线与方程的应用等知识点的理解。[详细]
举一反三
A. | B. | C. | D. |
A. | B. | C.2 | D.4 |
A.60° | B.75° | C.90° | D.120° |
(Ⅰ)当直线过右焦点时,求直线的方程;
(Ⅱ)设直线与椭圆C交于A、B两点,△A、△B的重心分别为G、H.若原点O在以线段GH为直径的圆内,求实数m的取值范围.
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