题目
题型:不详难度:来源:
(1)求双曲线的标准方程;
(2)设F是双曲线的右焦点,直线l过点F且与双曲线的右支交于不同的两点P、Q,点M为线段PQ的中点.若点M在直线x=-2上的射影为N,满足·=0,且||=10,求直线l的方程.
答案
解析
试题分析:(1)依题意有
解得a=1,b=,c=2.所以,所求双曲线的方程为x2-=1.(4分)
(2)当直线l⊥x轴时,||=6,不合题意.(5分)
当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=k(x-2).
由得,
(3-k2)x2+4k2x-4k2-3=0.
因为直线与双曲线的右支交于不同两点,所以3-k2≠0.(7分)
设P(x1,y1),Q(x2,y2),M(x0,y0),则x1、x2是方程①的两个正根,于是有
所以k2>3。 (9分)
因为·=0,则PN⊥QN,又M为PQ的中点,||=10,所以|PM|=|MN|=|MQ|=|PQ|=5.
又|MN|=x0+2=5,∴x0=3,
而x0===3,∴k2=9,解得k=±3.(10分)
∵k=±3满足②式,∴k=±3符合题意.
所以直线l的方程为y=±3(x-2).
即3x-y-6=0或3x+y-6=0.(12分)
点评:中档题,涉及双曲线的题目,在近些年高考题中是屡见不鲜,往往涉及求标准方程,研究直线与双曲线的位置关系。求标准方程,主要考虑定义及a,b,c,e的关系,涉及直线于双曲线位置关系问题,往往应用韦达定理。本题利用“垂直关系”较方便的得到了直线的斜率,进一步确定得到直线方程。
核心考点
试题【双曲线=1(a>0,b>0)的离心率为2,坐标原点到直线AB的距离为,其中A(0,-b),B(a,0).(1)求双曲线的标准方程;(2)设F是双曲线】;主要考察你对曲线与方程的应用等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)求椭圆的方程;
(2)若是直线上的两个动点,且,则以为直径的圆是否过定点?请说明理由.
A.4 | B.8 | C.16 | D.32 |
(1)已知在极坐标(与直角坐标系xOy取相同的长度单位,且以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴)中,点P的极坐标为(4,),判断点P与直线L的位置关系;
(2)设点Q是曲线C上的一个动点,求它到直线l的距离的最小值.
(1)若椭圆的长轴长为4,离心率为,求椭圆的标准方程;
(2)在(1)的条件下,设过定点M(0,2)的直线l与椭圆C交于不同的两点A、B,且∠AOB为锐角(其中O为坐标原点),求直线l的斜率k的取值范围
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