题目
题型:不详难度:来源:
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)若,且,求四边形的面积的最大值和最小值.
答案
解析
试题分析:(Ⅰ)依题意可得椭圆C的一个焦点为知,在代入点即可得得到一个关于的等式从而可求出的值,即可得椭圆的标准方程.
(Ⅱ) 由于,所以直线都过F点,从而又因为所以直线与直线相互垂直.所以四边形的面积为.故关键是求出线段的长度.首先要分类存在垂直于轴的情况,和不垂直于轴的情况两种.前者好求.后者通过假设一条直线联立椭圆方程写出弦长的式子,类似地写出另一条所得到的弦长.通过利用基本不等式即可求得面积的范围.从而再结合垂直于轴的情况,求出最大值与最小值.
试题解析:(Ⅰ)由题椭圆C的一个焦点为知故可设椭圆方程为,过焦点且与长轴垂直的直线方程为,设此直线与椭圆交于A,B两点则,又,所以,又,联立求得,,故椭圆方程为.
(Ⅱ)由,知,点共线,点共线,
即直线经过椭圆焦点。又知,
(i)当斜率为零或不存在时,
(ii)当直线存在且不为零时,可设斜率为,则由知,的斜率为
所以:直线方程为:。直线方程为:
将直线方程代入椭圆方程,消去并化简整理可得
,
设坐标为,则,…………①
从而,将①代入化简得
,
将中换成可得,
所以=.
令,因为,所以,故,所以,当且仅当时,.综上(i)(ii)可知,即四边形PQMN的最大面积为2,最小面积为.
核心考点
试题【已知椭圆的一个焦点为,过点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦长为;为椭圆上的四个点。(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)若,且,求四边形的面积的最大值和最小值.】;主要考察你对曲线与方程的应用等知识点的理解。[详细]
举一反三
A.相交 | B.相切 | C.相离 | D.以上情况都有可能 |
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)过点P的直线m与椭圆相交于不同的两点A,B。
①证明:∠AFM=∠BFN;
②求△ABF面积的最大值。
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设M是椭圆的上顶点,过点M分别作直线MA,MB交椭圆于A,B两点,设两直线的斜率分别为k1,k2,且k1+k2=2,证明:直线AB过定点(―1,―1)
(I)求椭圆C的方程;
(II)已知斜率为k(k≠0)的直线l与椭圆C交于不同的两点A,B,点Q满足且=0,其中N为椭圆的下顶点,求直线在y轴上截距的取值范围.
(I)若直线与椭圆C有公共点,求的取值范围;
(II)设E是(I)中直线与椭圆的一个公共点,求|EF1|+|EF2|取得最小值时,椭圆的方程;
(III)已知斜率为k(k≠0)的直线l与(II)中椭圆交于不同的两点A,B,点Q满足 且,其中N为椭圆的下顶点,求直线l在y轴上截距的取值范围.
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