题目

题型：不详难度：来源：

过曲线C：f（x）=x³-ax+b外的点A（1，0）作曲线C的切线恰有两条，
（1）求a，b满足的等量关系；
（2）若存在x₀∈R⁺，使f(x0)＞x0•ex0+a成立，求a的取值范围．

答案

（1）f′（x）=3x²-a，
过点A（1，0）作曲线C的切线，设切点（x₀，f（x₀）），则切线方程为：y=（3x₀²-a）（x-1）
将（x₀，f（x₀））代入得：f（x₀）=（3x₀²-a）（x₀-1）=x₀³-ax₀+b
即2x₀³-3x₀²+a-b=0（*）    由条件切线恰有两条，方程（*）恰有两根．
令u（x）=2x³-3x²+a-b，u′（x）=6x²-6x=6x（x-1），显然有两个极值点x=0与x=1，
于是u（0）=0或u（1）=0
当u（0）=0时，a=b；
当u（1）=0时，a-b=1，此时f（x）=x³-ax+a-1=（x-1）（x²+x+1-a）经过（1，0）与条件不符
所以a=b
（2）因为存在x₀∈R⁺，使f(x0)＞x0•ex0+a，即x03-ax0+a＞x0•ex0+a
所以存在x₀∈R⁺，使x03-ax0＞x0•ex0，得x02-a＞ex0，即a＜x02-ex0成立
设g（x）=x²-e^x（x＞0），问题转化为a＜g（x）的最大值
g′（x）=2x-e^x，
g′′（x）=2-e^x，令g′′（x）=0得x=ln2，
当x∈（0，ln2）时g′′（x）＞0此时g′（x）为增函数，当x∈（ln2，+∞）时g′′（x）＜0，此时g′（x）为减函数，
所以g′（x）的最大值为g′（ln2）=2ln2-e^ln2=2ln2-2=2（ln2-1）
∵ln2＜1，∴g′（x）的最大值g′（ln2）＜0，得g′（x）＜0
所以g（x）在（0，+∞）上单调递减，g（x）＜g（0）=-1
因此a≤-1．