题目

题型：不详难度：来源：

已知曲线的方程为，过原点作斜率为的直线和曲线相交，另一个交点记为，过作斜率为的直线与曲线相交，另一个交点记为，过作斜率为的直线与曲线相交，另一个交点记为，如此下去，一般地，过点作斜率为的直线与曲线相交，另一个交点记为，设点（）．
（1）指出，并求与的关系式（）；
（2）求（）的通项公式，并指出点列，，，向哪一点无限接近？说明理由；
（3）令，数列的前项和为，试比较与的大小，并证明你的结论．

答案

（1）；（2），；（3）.

解析

试题分析：（1）由于，点，又都是抛物线上的点，代入进去变形可得到与的关系为；（2）由于只要求数列的奇数项，因此把（1）中得到的关系式中分别为代换，得到两个等式相减可得与的关系式，用累加法可求得通项公式，当时，，即得极限点为；（3）求出，是一个等比数列，其，于是，要比较与的大小，只要比较与的即可，可计算前几个数，时，，时，，时，，时，，可以归纳出结论，时有，这个可用二项式定理证明，，由于，展开式中至少有4项，因此.
试题解析：（1）．                         （1分）
设，，由题意得 ．     （2分）
                      （4分）
（2）分别用、代换上式中的n得
 ()       （6分）
又，，              （8分）
因，所以点列，， ，， 向点无限接近.     （10分）
（3），．     （12分）
，只要比较．  （13分）
 （15分）
当n=1时，                            （16分）
当n=2时，                            （17分）
当n>2时，．                          （18分）